The error of the most satisfactory approximation of a function by the polynom method. (Q2614630)

Ausgehend von dem Integral \[ \int\limits_a^b p(x)f(x) \varphi_{n+1}(x)\,dx, \] wo \(p (x)\) eine nicht negative Funktion, \(\varphi_i(x)\) \((i = 0, 1, 2,\ldots)\) die zu ihr gehörigen normiert-orthogonalen \textit{Tschebyscheff}schen Polynome für das Intervall \((a, b)\) sind, gibt Verf. eine höchst einfache Herleitung der Ungleichung \[ |f(x)-\varPi_n(x)|>\dfrac{M}{(n+1)! a_{n+1}\sqrt{\int\limits_a^b p(x)\,dx}}. \] Diese gibt eine Abschätzung für die untere Grenze des Fehlers bei der Approximation der \((n + 1)\)-mal stetig differenzierbaren Funktion \(f (x)\) durch das günstigste Polynom \(\varPi_n(x)\) vom Grade \(n\). Dabei bezeichnet \(M\) das Minimum von \(|f^{(n+1)}(x)|\) im Intervall \((a, b)\) und \(a_{n+1}\) den Koeffizienten des Gliedes \(x^{n+1}\) in \(\varphi_{n+1}(x)\). Für \[ p(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad a=-1,\quad b=1 \] aus der obigen Ungleichung die Abschätzung \[ |f(x)-\varPi_n(x)| > \dfrac{M}{(n+1)!2^n\sqrt2}, \] die sich von der \textit{Bernstein}schen um den Faktor \(\dfrac{1}{\sqrt\pi}\) unterscheidet; für \[ p(x)=1, \quad a=-1,\quad b=1 \] erhält man das bessere Resultat \[ |f(x)-\varPi_n(x)|>\dfrac{M}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)\sqrt{2n+3}}. \]