Sur une suite de fonctions liée aux ensembles plans fermés. (Q2614663)

Es liege eine abgeschlossene und beschränkte Punktmenge mit positivem transfinitem Durchmesser \(E\) in der komplexen Ebene vor; \(\zeta_0,\ldots,\zeta_n\) seien beliebige Punkte aus \(E\), \(z\) irgend ein Punkt der Ebene. Dann setzt Verf. \[ \begin{gathered} L_n^{(j)}(z,\zeta)=\prod\limits_{\begin{smallmatrix} i=0 \\ i\neq j\end{smallmatrix}}^n \dfrac{z-\zeta_i}{\zeta_j-\zeta_i}, \qquad C_n^{(j)}(z,\zeta)=\prod\limits_{\begin{smallmatrix} i=0 \\ i\neq j\end{smallmatrix}}^n \dfrac{z-\zeta_j}{\zeta_i-\zeta_j},\\ L_n(z)=\underset{(\zeta)}{\text{Min}}\,\{\underset{(j)}{\text{Max}} |L_n^{(j)} (z,\zeta)|\},\qquad C_n(z)=\underset{(\zeta)}{\text{Min}}\,\{\underset{(j)}{\text{Max}} |C_n^{(j)} (z,\zeta)|\}. \end{gathered} \] (Vgl. zwei frühere Arbeiten des Verf: Bull. Acad. Polonaise A 1933, 281-289; Ann. Soc. Polonaise Math. 12 (1934), 57-71. JFM 59.0185.*; 61\(_{\text{I}}\), 356.) Hier wird nun die Konvergenz von \(\root n \of{C_n(z)}\) für jedes \(z\) gezeigt. Die Identität mit dem früher nachgewiesenen Grenzwert von \(\root n \of{L_n(z)}\) (vgl. die zweite der oben zitierten Arbeiten) wird vermutet.