Sur les fonctions limites quasi analytiques des fractions rationnelles. (Q2614668)

Gegeben eine Nullfolge \(\gamma_n\) sowie ein Bereich \(D\) der \(z\)-Ebene; eine Funktion \(f (z)\) heiße zur Klasse \((D;\gamma_n)\) gehörig, wenn eine Folge von rationalen Funktionen \(f_n(z)=\dfrac{P_n(z)}{Q_n(z)}\) derart existiert, daß die Ungleichungen \[ |f(z)-f_n(z)|>\gamma_n \] nur auf solchen Teilmengen von \(D\) erfüllt sind, deren Maß mit wachsendem \(n\) gegen Null konvergiert. Eine so erklärte Klasse \((D ; \gamma_n)\) heißt quasianalytisch, wenn zwei ihrer Funktionen, die auf einer Menge von positivem Maß übereinstimmen, in ganz \(D\) identisch sind. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \((D;\gamma_n)\) quasianalytisch ist, lautet: \(\underset{n\to\infty}{\lim \inf} \root n \of{\gamma_n} <1\). Durch ein Beispiel wird die Notwendigkeit erhärtet. Daß sie hinreicht, wird aus folgendem Lemma erschlossen: Sei \(f (z)\) eine rationale Funktion vom Grad \(\leqq n\), und sei \(0 < \alpha<\beta<1\). Wenn die Ungleichung \(|f(z)| < \text{tg}^{2n}\dfrac{\alpha\pi}{2}\) in einem Flächenstück \(\geqq \alpha\pi R^2\) im Innern eines Kreises \(C\) vom Radius \(R\) erfüllt ist, so gilt auch \(|f(z)|<\text{tg}^{2n}\dfrac{\beta\pi}{2}\) auf einer Fläche \(\geqq \beta\pi R^2\) im gleichen Kreis. Sodann betrachtet Verf. Funktionen der Form \[ f(z)=\sum_{1}^{\infty} \dfrac{A_{\nu}}{z-a_{\nu}} \qquad (a_{\nu}\neq a_{\mu}). \] Nach \textit{Denjoy} konvergiert die Reihe fast überall in der Ebene, wenn \(\sum\limits_{1}^{\infty} |A_{\nu}|\) konvergiert. Man setze \[ r_n=\sum_{n+1}^{\infty} |A_{\nu}|. \] Unter \(E_f\) werde die Punktmenge verstanden, auf der die Reihe konvergiert. Wenn dann auf einer abgeschlossenen Teilmenge von positivem Umfang von \(E_f\) gilt \(f (z) = 0\), so sind alle Koeffizienten \(A_{\nu}= 0\). Der Beweis folgt durch geeignete Abschätzungen aus der Darstellung \[ \begin{gathered} A_p=\lim\limits_{\varrho=0} \dfrac{1}{2\pi\varrho} \iint\limits_{|z-a_p|<\varrho} f(z) e^{i\theta}\,dxdy,\\ \theta=\arg (z-a_p). \end{gathered} \] (IV 4 A.)