Sur l'étude locale des fonctions holomorphes et des fonctions algébroïdes de plusieurs variables. (Extension d'une méthode de Puiseux.) (Q2614745)

Verf. untersucht die Gleichung \(f(x,y,z)=\sum A_{ijk}\,x^i\,y^j\,z^k=0\), hierbei soll \(f(0, 0, 0) = 0\) sein und die nicht identisch verschwindende Reihe \(F(0, y, 0)\) mit \(y^n\) (\(n>1\)) beginnen. Sie definiert eine \(n\)-deutige Funktion \(y(x, z)\). Zur Untersuchung der verschiedenen Zweige dieser Funktion benützt Verf. eine Methode, die derjenigen von \textit{Puiseux} im Falle algebraischer Funktionen nachgebildet ist. Benützt dort \textit{Puiseux} das zu einer Potenzreihe \(P (x, y)\) gehörige \textit{Newton}sche Polygon, so verwendet Verf. hier ein analog konstruiertes zu \(f(x, y, z)\) gehöriges Polyeder \(N\) (vgl. \textit{G. Dumas}, Commentarii math. Helvetici 4 (1932), 230-247; JFM 58.0706.*). Er faßt die einer Kante bzw. Fläche des Polyeders zugehörigen Glieder von \(f(x,y,z)\) zu einem ``Kantenpolynom'' \(K(x,y,z)\) bzw. ``Flächenpolynom'' \(F (x, y, z)\) zusammen. Diese Polynome sind für die Charakterisierung der verschiedenen Zweige von \(y (x, z)\) entscheidend. Man betrachte \(K(x,y,z)=0\). Die ganzen positiven Zahlen \(\alpha _1\), \(\beta _1\), \(\gamma _1\) bzw. \(\alpha _2\), \(\beta _2\), \(\gamma _2\) seien die Richtungsparameter der beiden Flächen von \(N\), die an der betreffenden Kante zusammenstoßen. Die zweiparametrige Gruppe \[ x=x'\,\lambda ^{\alpha _1}\,\mu ^{\alpha _2},\;\;\;y=y'\,\lambda ^{\beta _1}\,\mu ^{\beta _2},\;\;\;z=z'\,\lambda ^{\gamma _1}\,\mu ^{\gamma _2}, \] wo \(\lambda \), \(\mu \) beliebige komplexe Parameter sind, führt die Fläche \(K (x, y, z) = 0\) in sich über. Diese algebraische Fläche hat demnach die Parameterdarstellung \[ x=\lambda ^{\alpha _1}\,\mu ^{\alpha _2},\;\;\;y=\eta \,\lambda ^{\beta _1}\,\mu ^{\beta _2},\;\;\;z=\lambda ^{\gamma _1}\,\mu ^{\gamma _2}, \] wo \(\eta \) eine Wurzel der Gleichung \(K (1, y, 1) = 0\) ist. Sie approximiert für kleine \(\lambda \), \(\mu \) die analytische Fläche \(f(x,y, z) = 0\) bzw. die Funktion \(y (x, z)\). Ist \(\eta \) eine einfache Wurzel der Gleichung \(K(1,y,1) = 0\) (der Fall mehrfacher Wurzeln erfordert eine spezielle Untersuchung), so ist \[ x=\lambda ^{\alpha _1}\,\mu ^{\alpha _2},\;\;\;y=\eta \,\bigl(1+\varphi (\lambda,\mu ;\eta )\bigr)\,\lambda ^{\beta _1}\,\mu ^{\beta _2},\;\;\;z=\lambda ^{\gamma _1}\,\mu ^{\gamma _2}, \] eine Parameterdarstellung von \(y (x, z)\), wobei \(\varphi (\lambda,\mu ;\eta )\) eine in \(\lambda \) und \(\mu \) holomorphe Funktion ist, die der Gleichung \[ f\,\bigl(1, \eta \,(1+\varphi ),1\bigr) = K\,\bigl(1, \eta \,(1+\varphi ),1\bigr) + \gamma (\lambda,\mu,\varphi )=0 \] genügt. Diese Darstellung gilt für alle genügend klemen \(\lambda \) und \(\mu \) bzw. für alle \(x\) und \(z\) im Ringgebiet \[ |z|<h,\;\;\;M|z|^{\alpha _2/\gamma _2}<|x|<m|z|^{\alpha _1/\gamma _1},\tag{1} \] sofern \(M\), \(\dfrac {1}{h}\), \(\dfrac {1}{m}\) genügend groß sind und \(\alpha _2/\gamma _2>\alpha _1/\gamma _1\) ist. Ähnliche Resultate ergeben sich für Flächenpolynome. Mittels jedes Kanten- und Flächenpolynoms können auf diese Weise Darstellungen gewisser Zweige von \(y (x, z)\) gewonnen werden, die in gewissen Ringgebieten (1) gültig sind. Die letztern sind von der betreffenden Kante bzw. Fläche von \(N\) und von der Funktion \(f(x, y, z)\) abhängig. Daß auf diese Weise bei gegebenem \(x\) und \(y\) (genügend klein) alle \(n\) Bestimmungen von \(y (x, z)\) erhalten werden, ist meines Erachtens aus der Arbeit nicht ersichtlich. Den mehrfachen Wurzeln von \(K (1,\eta,1)=0\) bzw. den singulären Punkten der Kurve \(F(\xi,\eta, 1)=0\) entsprechen die Verzweigungsstellen der Funktion \(y (x, z)\). In einem letzten Teil der Arbeit untersucht Verf. die Durchdringung der beiden durch den Nullpunkt gehenden, analytischen Flächen \(f(x, y, z) = 0\), \(g (x, y, z) = 0\). Diese kann in der Umgebung des Nullpunktes in eine Anzahl Zyklen zerlegt werden, die sich mit Hilfe der Polyeder \(N\), die zu \(f\) und \(g\) gehören, charakterisieren lassen. (IV 6 C).