Exact solutions of the Schrödinger equation. (Q2614792)

Die in der klassischen Mechanik eingehend untersuchte Frage nach den Formen der Potentialfunktion, die eine Lösung in Ausdrücken durch bekannte Funktionen zulassen, wird hier in der Quantenmechanik für die eindimensionale \textit{Schrödinger}-Gleichung \[ \frac {d^2\psi }{dr^2} + k\,\bigl(E-V(r)\bigr)\,\psi =0 \] behandelt. Nach einer Koordinatentransformation \(x=x\Bigl(\dfrac {r}{\varrho }\Bigr)\) erhält man die Form \[ \psi '' +\dfrac {\dfrac {d^2x}{dr^2}}{\Bigl(\dfrac {dx}{dr}\Bigr)^2}\,\psi ' + \frac {W-\varPhi }{\varrho ^2\,\Bigl(\dfrac {dx}{dr}\Bigr)^2}\,\psi =0; \] jede transformierte \textit{Schrödinger}gleichung enthält also im Koeffizienten von \(\psi \) ein Glied von der Form \(\dfrac {\text{const}}{f(x)}\); setzt man const \(= W\), so ergeben sich \(\varPhi (r)\) und durch \(f(x) = \varrho ^2\,\Bigl(\dfrac {dx}{dr}\Bigr)^2\) auch \(x= x\,\Bigl(\dfrac {r}{\varrho }\Bigr)\). Wenn \(x\) eine Potenz oder eine Exponentialfunktion von \(r\) ist, so kommt man zu Lösungen, die sich in der Gestalt \[ \psi = x^\alpha (1-x)^\beta \,(a+x)^\gamma \,\text{exp\,} \Biggl(-\frac {\delta }{x}-\mu x-\varepsilon\,\frac {x^2}{2}\Biggr)\, \sum a_n\,x^n \] zusammenfassen lassen. Darunter sind z. B. hypergeometrische Reihen, \textit{Lamé}sche, \textit{Mathieu}sche und Kugelfunktionen enthalten. Es zeigt sich eine Entsprechung zwischen den Lösungen dieser \textit{Schrödinger}gleichung und denen der entsprechenden \textit{Hamilton-Jacobi}schen Gleichung: Ist diese in Ausdrücken durch Kreis- oder Exponentialfunktionen bzw. durch elliptische Funktionen lösbar, so besteht zwischen den Koeffizienten \(a_n\) der \(\psi \)-Funktion eine zweigliedrige bzw. dreigliedrige Rekursionsformel. Die Energiestufen sind durch das Abbrechen einer Potenzreihe bzw. durch die Wurzeln einer Kettenbruchgleichung bestimmt. (IV 11, VI 5.)