Nouvelles solutions de l'équation de Fredholm dans un intervalle fermé. (Q2614824)

Es sei \(C\) eine geschlossene Kurve der komplexen Ebene. Im Anschluß an seine frühere Arbeit (Rend. Accad. d. L. Roma (6) 11 (1930), 1080-1085; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 345) und in Ergänzung der Arbeit von \textit{Badesco} (Matematica, Cluj, 6 (1932), 36-52; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 412) zeigt Verf., daß die \textit{Fredholm}schen Alternativsätze für Integralgleichungen der Form \[ \varPhi (z) - \lambda \int\limits_C K(z,s) \varPhi(s)\, ds = \psi (z) \] nicht notwendig bestehen müssen. Beispielsweise hat die Gleichung \[ \varPhi (z) - \frac \lambda{2\pi i} \int\limits_C \frac {\varPhi (s)} {s - \alpha z} ds = 1 \quad \alpha < 1, \lambda <1, \] wo \(C\) den Nullpunkt umschließt, unendlich viele Lösungen, die man erhält, wenn man zu der trivialen Lösung \(\varPhi = \dfrac 1{1-\lambda}\) noch solche der homogenen Gleichung \[ \varPhi (z) - \frac \lambda{2\pi i} \int\limits_C \frac {\varPhi (s)} {s - \alpha z} ds = 0 \] oder \[ \varPhi (z) - \lambda \varPhi (\alpha z) = 0 \] hinzufügt. Derartige Lösungen sind, bei einer geeignet gewählten meromorphen Funktion \(g\): \[ \varPhi (z)= \sum_{n=-\infty}^\infty \lambda^n g (\alpha^n z). \] Auf den Konvergenzbeweis geht Verf. nicht ein. Ähnlich werden die übrigen \textit{Fredholm}schen Sätze untersucht.