Ein Fixpunktsatz. (Q2614856)

Als Erweiterung des \textit{J. Schauder}schen Fixpunktsatzes (Studia math. 2 (1930), 171-180; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 355) wird bewiesen, daß jede stetige Abbildung einer konvexen bikompakten Menge eines linearen topologischen lokal-konvexen Raumes in sich (wenigstens) einen Fixpunkt besitzt. Es folgen Anwendungen auf die Auflösung eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen mit unendlich (auch unabzählbar) vielen Unbekannten und auf die einer Gleichung \(A(f, y) = f(y)\), wo \(A(f, y)\) ein im folgenden Sinn stetiger Operator ist: Zu jedem \(y\) des Definitionsbereiches der Funktionen \(f\) und \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(\delta\) und \(x_1, \dots, x_n\) derart, daß \(| A(f_1, y) - A(f_2, y) | < \varepsilon\), falls \(| f_1(x_i) - f_2(x_i) | < \delta\) für \(i = 1, \dots, n\). \ \ (V 2.)