Sur quelques méthodes particulières de prolongement de l'espace de Hilbert. (Q2614862)

Drei Beispiele zu einer Note des Verf. (C. R. Acad. Sc. URSS \(1935_{\text{IV}}\), 123-126; F.d. M. \(61_{\text{I}}\), 436): 1. \ Realisiert man den \textit{Hilbert}schen Raum durch Zahlenfolgen \((x_1, x_2, \dots)\) mit \(\sum | x_n |^2 < \infty\) und betrachtet man für jede Folge \(\gamma_n\) positiver Zahlen den Operator \(B(x_1, x_2, \dots) = (\gamma_1 x_1, \gamma_2 x_2, \dots)\), anzuwenden auf abbrechende Folgen \(x\), so erhält man als erweiterten Raum den Raum \textit{aller} Zahlenfolgen \((x_1, x_2, \dots)\). 2. \ Im Raum der in \(0 \leqq t \leqq 2\pi\) quadratisch integrierbaren Funktionen mit \(\int\limits_0^{2\pi} f \, dt = 0\) betrachte man die Potenzen des Operators \(-f^{\prime\prime}\), anzuwenden auf unbeschränkt differenzierbare Funktionen; der zugehörige Erweiterungsraum enthält z. B. die \textit{Dirac}schen Funktionen. 3. \ Im Raum der im unendlichen Intervall quadratisch integrierbaren Funktionen multipliziere man die außerhalb eines gewissen Intervalls verschwindenden Funktionen mit beliebigen positiven meßbaren Funktionen, die nur in jedem endlichen Intervall nach oben und gegen 0 beschränkt sein müssen; der erweiterte Raum besteht dann aus allen meßbaren Funktionen, die über jedes endliche Intervall quadratisch integrierbar sind.