Über die ausgezeichnete Randbedingung in der Spektraltheorie der halbbeschränkten gewöhnlichen Differentialoperatoren zweiter Ordnung. (Q2614866)

``In der Spektraltheorie von Differentialoperatoren ist es eine Hauptaufgabe, für die Funktionen, auf die der Operator anwendbar sein soll, die zulässigen Randbedingungen richtig zu formulieren. Zulässig ist eine Randbedingung dann, wenn sie den Anwendungsbereich des Operators so einschränkt, daß er genau eine Spektralzerlegung besitzt.'' Und das ist genau dann der Fall, wenn der Operator in seinem Anwendungsbereich selbstadjungiert ist. Die betrachteten Operatoren \(L\) sind auf Funktionen \(f(x)\) anwendbar, die in dem Intervall \(X^- < x < X^+\) erklärt sind, wobei auch \(X^- = -\infty\), \(X^+ = +\infty\) sein kann, und zwar ist \[ Lf(x) = -\frac{d}{dx} p(x)\, \frac{d}{dx}f(x) + q(x)\,f(x) \] mit \(p(x) > 0\), \(q(x) \geqq k\) in \(X^- < x < X^+\). (Die Bedingung, daß \(q(x)\) nach unten beschränkt sein soll, kann gemildert werden: \(q(x)\) soll nur nicht zu stark gegen \(-\infty\) streben, wenn \(x\) an den Rand des Grundgebietes rückt.) In dieser Arbeit wird nun gezeigt, daß \(L\) selbstadjungiert ist in einem Bereich von Funktionen \(f(x)\), die den Randbedingungen genügen: \[ \int\limits_{X^-}^{X^+} f^2\, dx < \infty \text{ und } \int\limits_{X^-}^{X^+} (Lf)^2\, dx < \infty \, \qquad (2) \quad \int\limits_{X^-}^{X^+} \left\{p\left(\frac{df}{dx}\right)^2 + qf^2\right\}\, dx < \infty \tag{1} \] und \(f(x) \to 0\) für \(x \to X^+\) bzw. \(x \to X^-\), wenn \(\int\limits_{x_0}^x \dfrac{dx}{p(x)}\) bei \(x\to X^+\) bzw. \(x\to X^-\) endlich bleibt \((X^- < x_0 < X^+)\). Das gelingt auf Grund eines Satzes des Verf. über die Selbstadjungiertheit von Operatoren, die zu einer Form gehören (Math. Ann. 109 (1934), 465-487; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1078). Diese hier als zulässig erkannten Randbedingungen sind unter den anderen möglichen zulässigen Randbedingungen in bestimmter Weise ausgezeichnet. Die Auszeichnung wird formuliert mit Hilfe der zu \(L\) gehörigen Form \(G\) und ihres Definitionsbereiches \(\mathfrak G\). Sie läßt sich beispielsweise so aussprechen: Wählt man andere zulässige Randbedingungen und bezeichnet man mit \(\mathfrak G^\prime\) den Definitionsbereich der neuen Form \(G^\prime\), dann ist \(\mathfrak G\) ein echter Teilraum von \(\mathfrak G^\prime\). -- Der Vorteil solcher einheitlichen Randbedingungen, wie sie hier gegeben werden, für die Eigenwertprobleme der Wellenmechanik ist offenkundig.