Operatoren im Wachsschen Raum. (Q2614870)

Verf. konstruiert in Analogie zum \textit{Hilbert}schen Raum (mit reellen oder komplexen Koeffizienten, aber beliebiger Dimension) den ``\textit{Wachs}schen Raum'' mit Quaternionen als Koeffizienten. Der (komplexe) \textit{Hilbert}sche, reelle \textit{Hilbert}sche und \textit{Wachs}sche Raum werden, soweit möglich, gemeinsam behandelt, indem ein allgemeiner Grundkörper \(\varSigma\) benutzt wird. Die Begriffe Raum, Linearmannigfaltigkeit, Operator, \textit{Hermite}sch, vertauschbar usw. werden eingeführt, und der Dimensionsbegriff wird eingehend diskutiert. Ein neuer Beweis des Spektralsatzes für selbstadjungierte Operatoren wird ohne Fallunterscheidung mit dem Grundkörper \(\varSigma\) durchgeführt. Der \textit{F. Riesz}sche Zerlegungssatz, der Kern des Spektralsatzes, wird mittels eines von \textit{v. Neumann} stammenden Formalismus bewiesen. Die Untersuchung der Darstellungen des Quatemionenkörpers zeigt die Besonderheiten des \textit{Wachs}schen Raumes und führt zur Definition der Imaginäroperatoren (Operatoren \(T\) mit \(T^* = -T\), \(T^2 = -1\)). Mit ihrer Hilfe werden die Fortsetzungen eines abgeschlossenen \textit{Hermite}schen Operators untersucht, mit für die drei Fälle verschiedenem Ergebnis. Die maximalen, nicht selbstadjungierten Operatoren werden auf eine Normalform gebracht. Das Spektralproblem eines (unbeschränkten) normalen Operators \(N\) wird auf einen ``Hauptsatz'' zurückgeführt, der eine Zerlegung \(N = A + T_0B\) (\(A\) und \(B\) selbstadjungiert, \(B \geqq 0\), \(T_0\) Imaginäroperator) liefert. Er gilt für den Grundkörper \(\varSigma\) und enthält die für den \textit{Hilbert}schen Raum bekannten Tatsachen. Vgl. auch die vorstehend besprochene Arbeit von \textit{Y.-Y. Tseng}.