Integration von Differentialgleichungen vermittels der endlichen Fouriertransformation. (Q2614876)

Der Leitgedanke dieser Arbeit ist die Einordnung der \textit{Fourier}-Reihen in die Theorie der linearen Funktionaltransformationen. Verf. betrachtet nämlich die Operation: \[ \mathfrak f\{G\}\equiv \int\limits_{-l}^{+l} e^{-in\tfrac{\pi}{l}x} G(x)\,dx, \] welche von einer ``Objektfunktion'' \(G(x)\) zu der Koeffizientenfolge: \[ \dots, g_{-2}, g_{-1}, g_0, g_1, g_2, \dots \] der entsprechenden komplexen \textit{Fourier}-Reihe \[ \frac{1}{2l} \sum_{n=-\infty}^\infty g_n e^{in\tfrac{\pi}{l}x}, \] d. h. zu einer gewissen Funktion \(g(n)\) der ganzen Zahl \(n\) führt, als eine besondere lineare Funktionaltransformation, die er als ``\textit{endliche}'' \textit{Fourier}-Transformation bezeichnet. Man schafft sich derart ein geeignetes Werkzeug, um auch diejenigen Probleme mit der Methode der Funktionaltransformationen behandeln zu können, bei denen die für die Transformation passende Variable nur in einem \textit{endlichen} Intervall schwankt. Übrigens sind auch manche für die gewöhnliche \textit{Fourier}- oder die \textit{Laplace}-Transformation gangbaren Probleme für die Anwendung der endlichen \textit{Fourier}-Transformation geeignet, z. B. eine klassische Randwertaufgabe für die Wärmeleitungsgleichung, die Verf. schon früher mehrmals behandelt hat (s. insbesondere: Math. Z. 22 (1925), 285-292, 293-306; 25 (1926), 608-626. F. d. M. 51, 365 (JFM 51.0365.*); 52, 502) und welche in der vorliegenden Arbeit von einem neuen Standpunkt aus beleuchtet wird. Im Grunde ist diese neue, auf der endlichen \textit{Fourier}-Transformation basierte Integrationsmethode eine moderne, den heutigen Erfordernissen der Strenge gewachsene Darstellung der klassischen und bewährten Integrationsmethode von \textit{Fourier}.