Sulle trasformazioni funzionali lineari commutabili con la derivazione. (Q2614886)

Nach Feststellung der wichtigsten allgemeinen Eigenschaften derjenigen Funktionaltransformationen \(f(s) = \mathfrak T\{F(t)\}\), für die gilt: \[ f^\prime(s) = \mathfrak T\{F^\prime(t)\}, \tag{1} \] werden die sogenannten \textit{Appell}schen Polynome \(\pi_n(s)\) betrachtet, die vermöge \(\mathfrak T\) den Potenzen \(F_n(t) = t^n\) zugeordnet sind. Wegen \(F_n^\prime(t) = nF_{n-1}(t)\) müssen die \(\pi_n(s)\) der Funktionalgleichung genügen: \[ \pi_n^\prime(s) = n\pi_{n-1}(s). \] Ein typisches Beispiel solcher Polynome sind die \textit{Hermite}schen \(H_n(s)\). Die Transformation, die die \textit{Hermite}schen Polynome in die Potenzen transformiert, ist die sogenannte \textit{Gauß}-Transformation \[ f(s)= \frac{1}{\sqrt{2\pi m}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{\tfrac{(s-t)^2}{2m}} F(t)\, dt \equiv \mathfrak G^{(m)} \{F(t)\} \tag{2} \] für den Fall \(m = 1\); die eigentlich gesuchte Transformation, die das Umgekehrte besorgt, ist ihre ``Umkehrung'', die unter Benutzung der bekannten komplexen Umkehrformel der \textit{Laplace}-Transformation gewonnen wird: \[ \frac{1}{\sqrt{2\pi m}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{\tfrac{(s-\varkappa -it)^2}{2m}} F(\varkappa + it)\, dt \equiv \overline{\mathfrak G}^{(m)} \{F(t)\}. \tag{3} \] Will man eine Reihe der Gestalt \(F(t) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n H_n(t)\) summieren, so kann man sie durch Anwendung von (2) in eine Reihe der Gestalt \(f(s) = \sum\limits_{n=0}^\infty c_n s^n\) transformieren, diese summieren und dann die Umkehrung (3) anwenden. Statt dessen kann man sich auch die Bemerkung zunutze machen, daß \(F(t)\) vermöge (1) derselben Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten genügen muß wie \(f(s)\). So genügt z. B. \(y = e^s = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{s^n}{n!}\) der Differentialgleichung \(y^\prime - y = 0\), also \(Y = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{H_n(t)}{n!}\) auch. \(Y\) hat daher die Gestalt \(Y = ce^t\). \ \(t = 0\) liefert: \(c = \dfrac{1}{\sqrt{e}}\). Auf diesem Wege werden die Werte für eine Anzahl weiterer Reihen nach \textit{Hermite}schen Polynomen bestimmt.