Trasformazioni funzionali e polinomi ortogonali in ispecie sferici. (Q2614887)

Die Funktionen \(\varPi_n (t)\) seien orthogonal mit der Belegungsfunktion \(p(t)\) im Intervall \((a, b)\): \[ \int\limits_a^b p(t) \varPi_m(t)\,\varPi_n(t) \,dt = \begin{cases} 0 & \text{ für }\;m \neq n \\ \alpha_n & \text{ für }\;m = n, \end{cases} \] und mögen die erzeugende Funktion \(K(s, t)\) haben: \[ p(t) \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \varPi_n(t) \, s^n = K(s, t). \] Dann liefert die Funktionaltransformation \[ \mathfrak T\{F(t)\} = \int\limits_a^b K(s, t)\, F(t) \, dt = f(s), \] angewandt auf \(\varPi_n(t)\): \[ \mathfrak T\{\varPi_n(t)\} = a_n \alpha_n s^n. \] Für den Spezialfall des \textit{Legendre}schen Polynoms \(P_n(t)\) hat man: \(a = -1\), \(b = 1\), \(p(t) \equiv 1\), \(a_n = 1\), \(K(s, t) \equiv \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2st + s^2}}\). Die Transformation lautet hier: \[ f(s) = \int\limits_{-1}^{+1} \frac{F(t)}{\sqrt{1 - 2st + s^2}}\, dt, \] und es ist \[ \int\limits_{-1}^{+1} \frac{P_n(t)}{\sqrt{1 - 2st + s^2}}\, dt = \frac{2}{2n+1}\, s^n. \] Die Transformation wird handlicher, wenn man sie durch eine Substitution auf die Gestalt bringt \((-1 \leqq \sigma \leqq 1)\): \[ \int\limits_{\sigma}^1 \frac{P_n(t)\, dt}{\sqrt{2(t -\sigma)}} = \frac{\sin [(n+\tfrac 12) \arccos\,\sigma]}{n + \tfrac 12}, \qquad \int\limits_{-1}^\sigma \frac{P_n(t)\, dt}{\sqrt{2(\sigma - t)}} = \frac{\cos [(n+\tfrac 12) \arccos\,\sigma]}{n + \tfrac 12}. \] Unter Benutzung der Lösungsformel für die \textit{Abel}sche Integralgleichung ergibt sich die Umkehrung: \[ P_n(t) = \frac{2}{\pi}\int\limits_t^1 \frac{\cos [(n+\tfrac 12) \arccos\,\sigma]}{\sqrt{2(\sigma-t)(1-\sigma^2)}}\, d\sigma, \qquad P_n(t) = \frac{2}{\pi}\int\limits_{-1}^t \frac{\sin [(n+\tfrac 12) \arccos\,\sigma]}{\sqrt{2(t-\sigma)(1-\sigma^2)}}\, d\sigma. \] Diese Formeln, die die \textit{Legendre}schen Polynome in trigonometrische Funktionen verwandeln und umgekehrt, können dazu dienen, Reihen nach \textit{Legendre}schen Polynomen zunächst in solche nach trigonometrischen Funktionen zu transformieren, die eventuell summiert werden können, worauf man durch Umkehrung der Transformation den Wert der ursprünglichen Reihe findet. So führt z. B. die bekannte Summierung \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin\,(2n+1) x}{2n+1} = \frac{\pi}{4} \qquad (0 < x < \pi) \] zu folgender Formel für die \textit{Legendre}schen Polynome: \[ 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{P_n(\cos\,2\alpha)}{2n+1} = K(\sin \alpha) \qquad (0 < \alpha< \frac{\pi}{2}), \] wo \(K\) das \textit{Legendre}sche Integral erster Art \[ K(k) = \int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{d\psi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \psi}} \] bedeutet.