Ein Satz über elektrische Netzwerke und mit einer Anwendung auf Filter. (Q2614898)

Verf. beweist folgenden Satz: Es liege vor ein beliebiges passives lineares konstantes Netzwerk \(\mathfrak N\), in Ruhe bis zur Zeit \(t = 0\). In diesem Augenblicke werde am Zweige \(m\) die \textbf{EMK} 1 angebracht; sie erzeuge im Zweige \(k\) den Strom \(i_k(t)\), \(k = 1, \dots, n\). Man betrachte ein zweites Netzwerk \(\mathfrak N^*\), das aus dem ersten durch Reflexion hinsichtlich der beliebigen Frequenz \(\omega\) hervorgeht, d. h. dadurch, daß man jede Selbstinduktion \(L\) durch eine Kapazität \(C^*\), jede \(C\) durch eine \(L^*\) ersetzt nach den Formeln \[ (\omega C^*)^{-1} = \omega L, \quad (\omega L^*)^{-1} = \omega C; \] die Widerstände bleiben dieselben, \(r^* = r\). Auch bei \(\mathfrak N^*\) werde für \(t = 0\) die \textbf{EMK} 1 im Zweige \(m\) wirksam und erzeuge im Zweige \(k\) den Strom \(i_k^*(t)\). Dann ergibt sich \(i_k^*\) aus \(i_k\) durch die Beziehung \[ i_k^*(t) = \int\limits_0^\infty \omega \sqrt{\dfrac t\tau} J_1(2\omega\sqrt{t\tau}) i_k(\tau)\, d\tau, \tag{1} \] wo \(J_1\) die \textit{Bessel}sche Funktion erster Ordnung ist. -- (1) vereinfacht sich, wenn \(i_k(t)\) für \(t = 0\) impulsfrei ist. Zum Beweise unterwirft Verf. die \textit{Kirchhoff}schen Gleichungen für \(\mathfrak N\) und \(\mathfrak N^*\) der \textit{Carson}schen Abbildung. Dadurch entsteht für die Bilder \(f_k(p)\) bzw. \(f_k^*(p)\) von \(i_k(t)\) bzw. \(i_k^*(t)\) je ein System von \(n\) linearen Gleichungen. Ist \(f_k(p)\) die Lösung des ersten, so ist \[ f_k^* (p) = f_k\left(\frac{\omega^2}{p}\right) \] die des zweiten; hieraus folgt (1) nach einem allgemeinen Satze der Operatorenrechnung. Verf. behandelt zwei Beispiele mit bekannten \(i_k(t)\). Erstens legt er an eine einfache Reihenschaltung von \(L\) und \(C\) die \textbf{EMK} 1 an. Zweitens verwandelt er einen Tiefpaß durch Reflexion in bezug auf seine Grenzfrequenz in einen Hochpaß und ermittelt dessen kennzeichnenden Leitwert.