Sur une inégalité dans le problème des moments. (Q2614902)

Mit ähnlichen Methoden wie in der vorstehend besprochenen Arbeit beweist Verf. den Satz: Sind die \(2n\) ersten Momente der nichtnegativen Funktionen \(p(x)\) und \(dP(x)\) paarweise gleich, so gilt die Abschätzung \[ \begin{multlined} \left| \int\limits_{-\infty}^\infty dP(x) \int\limits_{-\infty}^\infty p(x)\, dx \right| \leqq \frac{a_n}{n} \left\{AM[p] +BM[p\left(x + \frac{\theta}{n}\right) - p(x)]\right. \\ \left. + C\left(\frac{2}{a_n}\right)^{n-1} \int\limits_{a_n}^\infty \left(p(t) + p(-t)\right) t^n\, dt\right\}. \end{multlined} \] Dabei bezeichnen \(M[f]\) die obere Grenze der Funktion \(| f(x) |\), \(A\), \(B\), \(C\), \(a_n\) gewisse positive Konstanten, \(\theta\) eine Zahl zwischen \(-1\) und 1. \ Aus dieser Abschätzung ergeben sich allgemeine Bedingungen für das Bestehen der Gleichung \[ \int\limits_{-\infty}^x dP(x) = \int\limits_{-\infty}^x p(x)\, dx \] unter der Voraussetzung \[ \int\limits_{-\infty}^\infty x^k dP(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty x^k p(x)\, dx \qquad (k = 0, 1, 2, \dots). \] (IV 3 B.)