Sur les valeurs asymptotiques des intégrales des équations différentielles. (Q2614951)

In Verallgemeinerung des bekannten Satzes, daß mit \(y^\prime(x) + y(x)\) stets auch \(y(x)\) demselben Grenzwert für \(x\to\;+\infty\) zustrebt, wird folgender Satz bewiesen: Wenn \(f(x, y)\) für \(x > a\) stetig ist, wenn ferner \[ \lim_{x\to +\infty} f(x, y) = \varphi(y) \;\text{ gleichmäßig für } \;-\infty < y < + \infty, \] \[ \liminf_{y \to +\infty} \varphi(y) < 0, \quad \limsup_{y\to -\infty} \varphi(y) > 0, \] dann ist jeder Grenzwert \(y_0\), dem ein Integral \(y(x)\) der Differentialgleichung \(y^\prime = f(x, y)\) für \(x \to +\infty\) zustrebt, endlich, und es ist \(\varphi(y_0) = 0\), so daß \(y^\prime(x)\) für \(x\to +\infty\) dem einheitlichen Grenzwert 0 zustrebt. Der Beweis ist sehr kurz und einfach. Weiterhin eine Reihe von Bemerkungen und Zusätzen.