Sur l'équation aux dérivées partielles du premier ordre essentiellement non linéaire. (Q2614995)

Die Funktion \(f(x, y, z, q)\) sei in einer offenen Menge \(\varOmega\) des \((x, y, z, q)\)-Raumes mit stetigen partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung versehen, und es sei \(f_{qq}\neq 0\). Die Funktion \(\omega (v)\) sei für \(a\leqq v\leqq b\) mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung versehen, und die Kurve \[ x=0, \;y=v, \;z=\omega (v), \;q = \omega'(v) \tag{1} \] gehöre dem Bereich \(\varOmega\) an. Schließlich mögen die durch die Kurve (1) gehenden Charakteristiken der Differentialgleichung \[ \dfrac{\partial z}{\partial x} = f\left(x,y,z,\dfrac{\partial z}{\partial y}\right) \] für \(0\leqq x < \beta\) existieren und ein mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung versehenes Integral erzeugen. Dann ist \(\omega'(v)\) von beschränkter Schwankung, ist also fast überall sogar zweimal differenzierbar. Die bei den üblichen Existenzbeweisen eingeführte Voraussetzung der zweimaligen Differenzierbarkeit der Funktion \(\omega\) kann also nicht wesentlich verringert werden.