Les systèmes linéaires d'équations aux dérivées partielles. Etude spéciale du cas de deux équations à une inconnue. (Q2615006)

Es handelt sich um Systeme von Differentialgleichungen der Gestalt \[ \sum\limits_{k,\alpha_\nu} a_{ks}^{(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}(x_1,\ldots,x_n) \dfrac{\partial^{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}u_k}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}} = f_s(x_1,\ldots,x_n) \qquad (k,s = 1,\ldots,N), \] und zwar wird nach dem Willkürlichkeitsgrad gefragt, mit dem das allgemeine Integral behaftet ist. Dieser wird bestimmt durch die Maximalzahl \(\lambda\) der Variablen, von denen die in dem allgemeinen Integral vorkommenden willkürlichen Funktionen abhängen, und durch die Anzahl \(\mu\) der willkürlichen Funktionen von \(\lambda\) Variablen. Bezeichnet man die linke Seite der obigen Gleichung mit \(A_s(u)\) und gibt es \(N\) Differentiationsoperatoren \(D_s\) derart, daß \(\sum D_s A_s\) identisch verschwindet, so heißen die \(N\) Gleichungen voneinander abhängig, andernfalls unabhängig. Verf. vermutet nun das folgende Theorem: Wenn die Gleichungen unabhängig sind, ist entweder \(\lambda = n - 1\), oder es ist \(\lambda = 0\), \(\mu = 0\). Der Beweis gelingt aber nur in Spezialfällen.