Sur un problème aux limites pour une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre de type mixte. (Q2615035)

Sei \(c\) eine positive Konstante, \(m\) ein positiver Bruch mit ungeradem Zähler und Nenner und \(F(x, y)\) eine gegebene reelle Funktion. Bezüglich der Differentialgleichung \[ y^mz_{xx} + z_{yy} - cz = F(x,y), \tag{\(^*\)} \] die elliptisch für \(y > 0\) und hyperbolisch für \(y < 0\) ist, behandelt Verf. dann folgende Randwertaufgabe: Sei \(E\) ein Punkt der Halbebene \(y < 0\), seien \(k_1\) und \(k_2\) die durch \(E\) gehenden Charakteristiken von (\(^*\)), \(K_1\) und \(K_2\) ihre Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse und \(k\) eine \(K_1\) und \(K_2\) verbindende Kurve, die mit Ausnahme der Punkte \(K_1, K_2\) ganz in der Halbebene \(y < 0\) liegt. In dem von \(k_1, k_2\) und \(k\) begrenzten Bereich soll alsdann eine Lösung \(z\) von (\(^*\)) gefunden werden, die auf \(k\) und \(k_1\) vorgeschriebene Werte annimmt. Im Spezialfall \(c = 0\), \(m = 1\), \(F\equiv 0\) wurde diese Aufgabe bereits von \textit{Tricomi} (Rend. Accad. d. L. Roma (5) 14 (1923), 133-247; F. d. M. 49, 346 (JFM 49.0346.*)) behandelt, an dessen Behandlungsmethode sich Verf. teilweise anschließt. (IV 14.)