Sur les dérivées de l'intégrale de Poisson. (Q2615039)

Es wird folgender Satz bewiesen: Die periodische Funktion \(f(\alpha)\) sei im Intervall \((-\pi, \pi)\) summierbar und in der Umgebung von \(\alpha = 0\) beschränkt, \(\alpha = 0\) sei Häufungspunkt einer Punktmenge \(E\). Es existiere \[ \lim\limits_{\alpha\in E, \alpha\to 0} \dfrac{f(\alpha) -f(0)}{\alpha} = f_E'(0). \] Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \[ u(r,\vartheta) = \dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(\alpha)\dfrac{d}{d\vartheta}\left(\dfrac{1 - r^2}{1 2r\,\cos (\alpha - \vartheta) + r^2)}\right)\, d\alpha \] gegen \(f_E'(0)\) konvergiert, wenn \((r, \vartheta)\) gegen \((1, 0)\) auf einem den Kreis nicht berührenden Wege strebt, ist, daß \[ \dfrac{1}{4\varepsilon^2}\int\limits_{-\varepsilon}^\varepsilon \varphi_{CE}(\alpha) d\alpha\to 0 \;\text{ für } \;\varepsilon\to 0 \] gilt, wobei \(\varphi_{CE}(\alpha)\) die charakteristische Funktion der Komplementärmenge \(CE\) von \(E\) ist. Ein ähnlicher Satz wird bewiesen für den Fall, daß unter dem Integral nicht die erste, sondern eine beliebige \(m\)-te Ableitung des \textit{Poisson}schen Kerns \[ \dfrac{1-r^2}{1-2r\cos (\alpha-\vartheta) + r^2} \] auftritt.