An asymptotic formula for a class of distribution functions. (Q2615181)

Die Verf. untersuchen die Verteilungsfunktion von \(y=x_1+\cdots+x_n\), wo die \(x_i\) einem Verteilungsgesetz \(\sigma(x)\) von endlicher Streuung unterworfen sind, \(d\sigma(x)\) wird als symmetrisch vorausgesetzt; sonst aber sind die \(\sigma(x)\) auferlegten Bedingungen sehr allgemein. Diese Bedingungen sind: Für ein \(\delta>0\) und eine Funktion \(\varPhi(t)\) sei \[ \begin{gathered} {\int\limits_{0}^{\infty}}\bigg\{t\varPhi(t)^{\tfrac1\delta}\bigg\}^{-1}dt< +\infty,\quad L(t;\sigma)=O\left(\dfrac{1}{\varPhi(t)}\right)\quad \text{für}\quad t\to+\infty,\\ L(t;\sigma)=\to0\quad \text{für}\quad t\to\infty,\\ \end{gathered} \] wo \(L (t; \sigma)\) die charakteristische Funktion oder \textit{Fourier}-Transformierte von \(\sigma(x)\) bedeutet. Aus diesen Bedingungen folgt die Existenz einer asymptotischen Entwicklung der Verteilungsfunktion von \(y\) in Polynome \(P_k(x)\) ungeraden Grades; z. B. \[ P_5(x)=(2\pi)^{-\frac12}\bigg\{\frac{x^5}{40}-5(M_4-3)\frac{x^3}{48}+ (35M_4^2-8M_6-90M_4+75)\frac x{384}\bigg\}, \] wo \(M_k\) das Moment \(k\)-ter Ordnung von \(\sigma(x)\) bedeutet. In manchen Fällen ist diese Entwicklung eine konvergente Reihe, z. B. wenn \(d\sigma(x)\) ein \textit{Gauß}sches Wahrscheinlich\-keitsdifferential ist.