La loi forte des grands nombres pour les variables enchaînées. (Q2615188)

\(u_1,u_2,\dots\) seien abhängige Zufallsveränderliche. Die nachträgliche Erwartung für \(u_n\), \(\varepsilon_{n-1}(u_n)\), sei 0. \(\sigma_\nu^2\) sei das Streuungsquadrat für \(u_\nu\), und es sei \(M_n^2=\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2\). \(M_n^2+k^2\sigma_{n+1}^2\leqq t\) mit \(0 < k \leqq1\) habe zur Folge \(k|u_{n+1}|\leqq\varphi(t)\sqrt t\) wo \(\varphi\) von vornherein unabhängig von \(n\) gegeben ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß \({\sum\limits_{1}^{\infty}}\sigma_n^2=\infty\) ist, sei 1. \(k\) werde jetzt definiert durch \(M_n^2 + k^2\sigma_n^2 = t\) als Funktion von \(n\) und \(t\). Dann setze man \(u_1+u_2+\cdots+u_n+ku_{n+1} = x (t)\sqrt t\). Dann gilt: Wenn \({\int\limits_{1}^{\infty}}\dfrac{\varphi(t)}t\,dt\) endlich ist, gilt: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß es beliebig große Werte \(t\) gibt, so daß \(x(t)>c\sqrt{2\, \log \log t}\), ist 0, wenn \(c>1\) und 1, wenn \(c < 1\) ist.