On least squares and linear combinations of observations. (Q2615225)

\textit{Sheppard} hat die genäherte Darstellung von \(n\) äquidistanten, unkorrelierten Beobachtungen \(u_i\) von gleichen Gewichten durch einen linearen Ausdruck \[ y_i=c_{1 i}u_1+c_{2 i}u_2+\cdots+c_{n i}u_n\qquad(i=1,2,\dots,n) \] unter der Annahme behandelt, daß die \(y_i\) Ordinaten eines Polynoms höchstens \(k\)-ten Grades sind und daß das Maß des mittleren Fehlerquadrats \(\sum\limits_{j=1}^{n}c_{ji}^2\) für jedes \(i\) ein Minimum wird. Er fand, daß diese \(y_i\) dann identisch mit denen waren, die man bei Glätten der sämtlichen Beobachtungen \(u_i\) durch ein Polynom \(k\)-ten Grades nach der Methode der kleinsten Quadrate erhält. Diese Resultate werden in der vorliegenden Arbeit unter Verwendung von Matrizen und \(n\)-dimensionalen Vektoren für den Beweis in folgenden drei Punkten erweitert: (1) Die Beobachtungen brauchen nicht äquidistant zu sein. (2) Sie können verschiedene Gewichte haben und dürfen korreliert sein. (3) Die Glättung kann auch mittels anderer Funktionen geschehen, falls nur die Werte für die benutzten Abszissen linear unabhängig sind. (IV 17.)