Die Beurteilung der Treffsicherheit von Prognosen. (Q2615271)

Es soll ein brauchbares Maß für den ``individuellen Erfolg'' von Prognosen gegeben werden. Es sei vorausgesagt, daß von \(n\) sich ausschließenden Ereignissen \(E_i\) in \(N\) Fällen, die der Voraussage unterliegen, \(E_i\) \(a_i\)-mal (\(i=1\), 2,\dots, \(n\)) eintritt. Später stelle sich heraus, daß \(E_i\) sich \(A_i\)-mal ereignet hat. Jede der \(\dfrac{N!}{a_1!\ldots a_n!}\) Folgen, in denen \(a_i\)-mal das Ereignis \(E_i\) auftritt, zeigt eine bestimmte Zahl von Übereinstimmungen mit der Folge der tatsächlich eingetretenen Ereignisse. Als Mittelwert für diese ``Trefferanzahl'' \(t\) wird \[ M_t=\frac{a_1A_1+\cdots+a_nA_n}{N} \] gewählt. Bezeichnet \(\sigma_t\) die zugehörige Streuung, so wird als Maß der Treffsicherheit \[ T=\frac{t-M_t}{\sigma_t} \] definiert. Für den Fall \(n=2\) hängt \(T\) mit dem Kontingenzmaß \(\varphi^2\) von \textit{Pearson} durch die Beziehung \[ T=\varphi\sqrt{N-1} \] zusammen.