Ausgleichung einfacher Beobachtungsreihen. (Q2615426)

Es soll der Verlauf einer Funktion \(w(x)\) aus \(n+1\) Beobachtungswerten \(u_r\) an den äquidistanten Argumentstellen \[ x_r=x_0+r\cdot h\qquad(r=0,1,\ldots,n) \] bestimmt werden, wenn die \(u_r\) nur als Näherungswerte der \(w_r\) angesehen werden. Als einfachstes Maß für die Straffheit des Verlaufs wird der Ausdruck \[ \varPsi(w)=\sum_{r=1}^{n-1}(w_{r-1}-2w_r+w_{r+1})^2 \] gewählt. Ist \(\lambda\) eine feste positive Zahl, so läßt sich durch Ableitung von \[ E(w)=\lambda\varPsi(w)+\varPhi(w), \] wo \[ \varPhi(w)=\sum_{r=0}^n(u_r-w_r)^2, \] nach den \(w_r\) ein lineares Gleichungssystem ableiten, durch das die \(w_r\) und das Minimum von \(E(w)\) bestimmt werden. \[ \lambda=\frac\varPhi{\varPsi(u)} \] liefert ein Abweichungsmaß, das die willkürlich gewählte Schranke \(\varPhi\) nicht erreicht. (IV~16.)