Zur Axiomatik der linearen Abhängigkeit. I. (Q2615451)

Verf. gibt hier eine Axiomatik für die lineare Abhängigkeit im \(n\)-dimensionalen projektiven Raum; dabei macht er von dem von \textit{G.~Thomsen} (Grundlagen der Elementargeometrie in gruppenalgebraischer Behandlung, 1933; F.~d.~M. 59\(_{\text{I}}\), 549-550) entwickelten Zyklenkalkül, aber in abstraktem Sinne, Gebrauch. Die Darstellung beginnt mit einem Axiomensystem für eine gewisse Menge \(\mathfrak B_1\) von Elementen \(a_1,a_2,\dots\), den ersten Verknüpfungsraum oder \(\mathfrak B_1\)-Raum. Für gewisse Reihen von Elementen \(a_1,a_2,\dots,a_s\), die als Zyklen bezeichnet werden, werden die Beziehungen ``gelten'' oder ``gültig sein'', in Zeichen \(a_1\dots a_s=0\) oder kurz \(a_1\dots a_s\), und ``nicht gelten'' oder ``nicht gültig sein'', in Zeichen \(a_1\dots a_s\neq 0\), aufgestellt; diese sollen den folgenden vier Axiomen genügen: {\hskip1pt}{\hbox to1em{\hfil I}} (Axiom der Reflexivität): \(aa\). {\hskip1pt}\hbox to1em{\hfil II} (Axiom der Folgerung): Aus \(a_1\dots a_s\) folgt \(a_1\dots a_sx\) (\(s=1,2,\dots\)). {\hskip1pt}\hbox to1em{\hfil III} (Axiom der Vertauschung): Aus \(a_1\dots a_i\dots a_s\) folgt \(a_i\dots a_1\dots a_s\) \newline (\(s=2,3,\dots\); \(i=2\dots,s\)). {\hskip1pt}\hbox to1em{\hfil IV} (Axiom der Transitivität): Aus \(a_1\dots a_s\neq 0\), \(xa_1\dots a_s\), \(a_1\dots a_sy\) folgt \newline \(xa_1\dots a_sy\) (\(s=1,2,\dots\)). Statt Element kann auch Punkt, statt der Beziehungen gelten bzw. nicht gelten kann auch linear abhängig bzw. linear unabhängig gesagt werden. Verf. behandelt zunächst lineare Räume: Die Gesamtheit der Elemente \(x\in\mathfrak B_1\), die bei festen Elementen \(a_1,\dots,a_n\) an mit \(a_1\dots a_n\neq 0\) die Beziehung \(a_1\dots a_nx\) erfüllen, nennt er den von der ``Basis'' \(a_1\dots a_n\) erzeugten linearen Raum \(\Re^n(a_1\dots a_n)\), \(n\) den ``Rang'' des Raumes. Ferner nennt er die Menge aller \(x\in\mathfrak B_1\) mit \(x=0\) die ``Nullstelle'' \(\mathfrak N\) von \(\mathfrak B_1\); \(\mathfrak N\) ist in jedem linearen Raum enthalten. Die Begriffe Rang und Basis werden später für eine beliebige Menge \(M\) von Elementen von \(\mathfrak B_1\) erklärt. Über diese Begriffe werden zahlreiche Sätze bewiesen; ein wichtiges Beweisverfahren ist dabei die so genannte ``Reduktionsmethode''. Keiner der Sätze enthält, entsprechend einer bei \textit{Hjelmslev} (Meddelelser København 8, Nr.~11; 10, Nr.~1; 1929; F.~d.~M. 55\(_{\text{II}}\), 957) und \textit{Thomsen} (a.~a.~O.) ausgesprochenen Tendenz, eine Existenzaussage.