Überdeckungen von Komplexen. (Q2615480)

Eine Überlagerung \(\mathfrak U\) eines Komplexes \(\mathfrak K\) (vgl. das vorangehende Referat) heißt eine \textit{Überdeckung}, wenn die Zellen von \(\mathfrak U\), die über demselben Simplex von \(\mathfrak K\) liegen, eine kommutative Gruppe bilden, derart, daß aus der Inzidenz der über \(a_i^k\) gelegenen Zellen \(u_1^k\), \(u_2^k\), \(u_3^k\) mit den über \(a_j^{k-1}\) gelegenen Zellen \(v_1^{k-1}\) bzw. \(v_2^{k-1}\) bzw. \(v_3^{k-1}\) und \(u_1^k+u_2^k=u_3^k\) folgt: \(v_1^{k-1}+v_2^{k-1}=v_3^{k-1}\) Unterscheidet man wieder die über derselben Zelle \(a_i^k\) von \(\mathfrak K\) gelegenen Zellen von \(\mathfrak U\) durch Koordinaten: \(xa_i^k\) (im vorigen Referat mit \(u\) bezeichnet), so bilden also die \(x\) jetzt eine kommutative Gruppe \(\mathfrak X\); für die Inzidenzrelationen der Überdeckung und den Zusammenhang mit der Wegegruppe von \(\mathfrak K\) gelten die früheren Überlegungen, jedoch sind die von null verschiedenen Elemente \(\gamma_{ij}^k\) der Inzidenzmatrizen von \(\mathfrak U\) jetzt Automorphismen von \(\mathfrak X\). Die Gruppeneigenschaft der \(\mathfrak X\) ermöglicht die Einführung von Homologiegruppen: Unter einer \(k\)-dimensionalen Kette von \(\mathfrak U\) versteht man einen Ausdruck \(\mathfrak x^k=\sum x_ia_i^k\) (\(a_i^k\) durchläuft die \(k\)-dimensionalen Zellen von \(\mathfrak K\)), die Summe zweier Ketten wird durch Addition entsprechender Koordinaten gebildet, der Rand einer Kette setzt sich additiv aus den Rändern \(R(x_ia_i^k)\) zusammen, und \(R(xa_i^k\)) ist definiert durch \[ R(xa_i^k)=\sum_\nu\varepsilon_{i\nu}^kx\gamma_{i\nu}^ka_\nu^{k-1} \quad \text{(\(a_\nu^{k-1}\) durchläuft die \((k-1)\)-Zellen von \(\mathfrak K\)),} \] wobei die \(\varepsilon_{i\nu}^k=0\), \(+1\), \(-1\) die Inzidenzrelationen von \(\mathfrak K\) beschreiben, die \(\gamma_{i\nu}^k\) (die 0 oder Automorphismen von \(\mathfrak X\) sind, je nachdem ob \(\varepsilon_{i\nu}^k=0\) oder \({}\neq 0\) ist) die von \(\mathfrak U\), und \(\varepsilon_{i\nu}^kx=\pm x\) für \(\varepsilon_{i\nu}^k=\pm1\) zu setzen ist. Man beweist leicht die zur Definition von Homologiegruppen erforderlichen Eigenschaften: Distributives Gesetz der Randbildung mit der Addition; der Rand eines Randes ist null. Ist die Koordinatengruppe \(\mathfrak X\) direkte Summe zweier Gruppen, so entspricht ihr eine \textit{zerlegbare} Überdeckung von \(\mathfrak K\), die sich in naheliegender Weise als ``direkte Summe'' der zu den Summanden gehörenden Überdeckungen deuten läßt. -- Eine Überdeckung heißt \textit{regulär}, wenn sie Automorphismen besitzt, durch die die Zellen so aufeinander abgebildet werden, daß die Verknüpfungen und Inzidenzrelationen erhalten bleiben. Zum Beispiel: Ist \(\mathfrak X\) ein halbeinfaches hyperkomplexes System, wobei die Addition die Gruppenverknüpfung ist und die \(\gamma\) durch Rechtsmultiplikationen mit gewissen Elementen definiert sind, so kann man als Automorphismen Linksmultiplikationen mit Elementen, die ein Inverses besitzen, einführen. Die Homlogiegruppen, die dabei ebenfalls auf sich abgebildet werden, sind in diesem Fall Gruppen mit Operatoren. Ist \(\mathfrak X\) ein Ring mit Einselement und gibt es zu jedem \(\gamma\) ein \(g\in\mathfrak X\) mit \(x\gamma=xg\), so heißt die Gesamtheit der Ketten von \(\mathfrak U\) mit ihren Verknüpfungs- und Berandungsrelationen ein Kettenring. Ein Beispiel ist der von Verf. früher behandelte Homotopiekettenring (Abhandl. Hamburg 10 (1934), 211-215; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 499), bei dem \(\mathfrak X\) der Gruppenring der Wegegruppe von \(\mathfrak K\) ist. Für Kettenringe wird das Verhalten der Inzidenzmatrizen bei Übergang von den \(a_i^k\) zu einer anderen Basis der \(k\)-dimensionalen Ketten, ferner der Einfluß von Unterteilungen von \(\mathfrak K\) untersucht. Schließlich werden auch die Beziehungen zwischen dualen Überdeckungen (mit gleicher Koordinatengruppe) zweier zueinander dualer Komplexe festgestellt. Hieraus ergibt sich insbesondere eine einfache Normalform für die Berandungsmatrizen dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten. Als Beispiel wird die zu einem Kreisteilungskörper gehörende Überdeckung einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit behandelt.