On the topology of certain algebraic threefold loci. (Q2615503)

Es handelt sich hauptsächlich um die \textit{Betti}sche Zahl \(R_3\) und die Herstellung einer Basis für die 3-Zyklen bei algebraischen Mannigfaltigkeiten von drei (komplexen) Dimensionen. Grundlegend sind die Methoden von \textit{Lefschetz} (L'analysis situs et la géométrie algébrique, Paris, 1924; F. d. M. 50, 663 (JFM 50.0663.*)). Zuerst wird eine ziemlich umfassende Klasse rationaler Mannigfaltigkeiten behandelt: Sei \(C\) eine irreduzible, singularitätenfreie, algebraische Raumkurve des Geschlechts \(p\) und \(\varSigma\) das lineare System der \(C\) enthaltenden Flächen einer bestimmten, genügend hohen Ordnung. Dann ist \(\varSigma\) das Bild der ebenen Schnitte einer rationalen 3-Mannigfaltigkeit \(V\); den Punkten von \(C\) entspricht eine geradlinige Fläche \(R\) des Geschlechts \(p\). Bei \(V\) ist dann \(R_3 = 2p\), und man erhält eine Basis der 3-Zyklen von \(V\), wenn man die Erzeugende von \(R\) die \(2p\) unabhängigen 1-Zyklen einer Basis der 1-Zyklen von \(R\) durchfahren läßt. Der zweite Gegenstand der Arbeit ist die allgemeine Überfläche dritter Ordnung im 4-Raume. Hier ist \(R_3 = 10\). Die ``verschwindenden Zyklen'' von \textit{Lefschetz} haben die Gestalt \(l_1 - l_2\), worin \(l_1\) und \(l_2\) zwei windschiefe Gerade eines ebenen Schnittes (Fläche dritter Ordnung) sind. Genauere Untersuchung ihres Verhaltens lehrt, daß jeder 3-Zyklus homolog dem von einer Geraden der Überfläche überstrichenen ist, wenn die Gerade einen geeigneten geschlossenen Weg beschreibt. Im Einklang damit steht, daß die Mannigfaltigkeit der Geraden die \textit{Betti}sche Zahl \(R_1 = 10\) hat. Ein eingeschalteter Abschnitt behandelt die Vertauschungen, die die 27 Geraden eines ebenen Schnittes erfahren, wenn die schneidende Überebene einen geschlossenen Weg innerhalb eines Büschels beschreibt. Es zeigt sich, daß so alle 51840 Vertauschungen der \textit{Galois}schen Gruppe der 27 Geraden zustande kommen. (V 5 E.)