On local properties of closed sets. (Q2615514)

\(F\) sei eine abgeschlossene beschränkte Punktmenge des euklidischen \(R^n\), \(a\in F\); \(U(a,\varepsilon)\) bezeichne für \(\varepsilon > 0\) das Innere der Kugel vom Radius \(\varepsilon\) um \(a\). Es sei \(\varepsilon > \sigma > 0\). \(q^s_{\varepsilon,\sigma}\) bedeute die Maximalzahl von absoluten \(s\)-dimensionalen Zyklen in \(U(a,\sigma)-F\), die in \(U(a,\varepsilon) - F\) bezüglich Homologie unabhängig sind. \(p^s_{\varepsilon,\sigma}\) bedeute die Anzahl der \(s\)-dimensionalen Zyklen auf \(\overline{FU (a, \varepsilon)}\) mod \((F - U (a, \varepsilon))\), die bezüglich Homologie in \(\overline{FU(a, \varepsilon)}\) mod \((F - U (a, \sigma))\) unabhängig sind. Koeffizientenbereich sind die rationalen Zahlen; für \(s = 0\) sind (auch im folgenden) berandungsfähige Zyklen zu nehmen. Die \(s\)-dimensionalen \textit{Betti}schen Zahlen von \(F - R^n\) und \(F\) \textit{um} \(a\) (``around'' \(a\)) erhält man daraus, indem man zuerst \(\sigma\), dann \(\varepsilon\) gegen 0 gehen läßt: \[ q^s(a,R^n-F)=\lim\limits_{\varepsilon\to0} \lim\limits_{\sigma\to0} q^s_{\varepsilon,\sigma},\qquad p^s(a,F)=\lim\limits_{\varepsilon\to0} \lim\limits_{\sigma\to0} p^s_{\varepsilon,\sigma} \] Falls ein endlicher Grenzwert nicht existiert, hat man sinngemäß zwischen wachsend und aktual unendlichen \textit{Betti}schen Zahlen zu unterscheiden (in Zeichen: \(\omega\) bzw. \(\infty\)). Dann gilt der Dualitätssatz: \[ p^s(a,F) = q^{n-s-1}(a,R^n-F), \] der die topologische Invarianz der \textit{Betti}schen Zahlen von \(R^n-F\) um a bei Transformation von \(F\) sichert. (Vgl. hierzu auch \textit{Čech}, Ann. of Math. (2) 35 (1934), 678-701; JFM 60.1219.*.) Nach Verf. (Ann. of Math. (2) 30 (1928), 101-187 (F. d. M. 54, 609 (JFM 54.0609.*)), S. 181, Fußnote 63) heißt \(F\) lokal zusammenhängend in \(a\) für die Dimension \(s\), wenn auf \(F\) in einer vorgeschriebenen Umgebung von \(a\) jeder absolute \(s\)-dimensionale Zyklus aus einer hinreichend kleinen Umgebung von \(a\) berandet. Man definiere \(\varkappa^s (a, R^n-F)\) und \(\pi^s (a, F)\) ähnlich wie die \(q\) und \(p\), wobei jetzt die \(\varkappa\) durch Zyklen auf \(U(a,\varepsilon)-F\) mod \((R^n-U(a,\varepsilon))\), die auf \(R^n-F\) mod \((R^n - U(a, \sigma))\) nicht beranden, die \(\pi\) durch absolute Zyklen auf \(FU (a, \sigma)\), die auf \(\overline{FU(a, \varepsilon)}\) nicht beranden, bestimmt werden. Dann gilt: Ist \(F\) in \(a\) lokal-zusammenhängend für die Dimension \(s\), \(0 < s < n-1\), so ist \[ \pi^s(a, F) = \varkappa^{n-s-1}(a, R^n-F) = 0; \] andernfalls ist \[ \pi^s(a, F) = \varkappa^{n-s-1}(a, R-F) = \infty. \] \(F\) sei eindimensional. Dann und nur dann ist \(F\) eine endlichhoch zusammenhängende stetige Kurve (Baum im kleinen), wenn \(p^1(a, F) \neq\infty\) für alle \(a\). In diesem Fall ist die \textit{Menger}sche Ordnung von \(F\) in \(a\) bestimmt durch ind\(_{a} K = p^1(a,F) + 1\). (Im allgemeinen Fall kann eine der beiden Zahlen ind\(_a F, p^1(a,F)\) endlich, die andere unendlich sein.) Daraus ergeben sich z. B. Kennzeichnungen der einfach geschlossenen Kurve. Als natürliche Verallgemeinerung der regulären Erreichbarkeit (\textit{G. T. Whyburn}, Proc. Acad. USA 13 (1927), 650-657; F. d. M. 53, 572 (JFM 53.0572.*)) führt Verf. ein: Eine abgeschlossene Menge \(F\) des \(R^n\) heißt in a \(s\)-erreichbar, wenn zu \(\varepsilon > 0\) ein \(\sigma > 0\) existiert, so daß jeder \(s\)-dimensionale Zyklus auf \(U(a, \sigma)-F\) auf einer abgeschlossenen Menge \(\varPhi \subset U (a, \varepsilon)\), die mit \(F\) höchstens den Punkt \(a\) gemeinsam hat, berandet. Dual dazu ist folgender Begriff: \(F\) hat im Punkte \(a\) keine \(s\)-dimensionale Kondensation, wenn es zu \(\varepsilon > 0\) ein \(\sigma > 0\) gibt, so daß ein \(s\)-dimension1aler Zyklus mod \((F - U (a, e))\), der auf \(F\) mod \((F - U (a, \sigma))\) nicht berandet, auch mod \((F - U (a, \tau))\) mit \(\sigma > \tau > 0\) nicht berandet. Dann und nur dann ist \(F\) in \(a\) \(s\)-erreichbar, wenn \(F\) dort keine \((n - s -1)\)-dimensionale Kondensation besitzt. Das führt zu einem Invarianzsatz für \(s\)-Erreichbarkeit gegenüber topologischen Transformationen von \(F\). -- Einfach geschlossene Kurven im \(R^n\) können als überall \((n - 2)\)-erreichbare geschlossene Kurven gekennzeichnet werden. Lokale \textit{Betti}sche Gruppen (die allerdings andere als die anfangs definierten \textit{Betti}schen Zahlen ergeben) kann man so einführen: Ein \(s\)-dimensionaler Relativzyklus von \(F\) heißt Zyklus \textit{durch} \(a\) (``through'' \(a\)), wenn er für eine passende Umgebung \(U(a)\) Zyklus mod \((F- U(a))\) ist; er ist homolog null \textit{in} \(a\) (``in'' \(a\)), wenn er für eine passende Umgebung \(V(a)\) mod \((F-V(a))\) berandet, und er läßt sich von \(a\) entfernen (ist ``declinable from \(a\)''), wenn er nach Addition eines in beliebiger Nähe von \(a\) gelegenen absoluten Zyklus von \(F\) in \(a\) homolog null ist. Man erhält, wenn man die Restklassengruppe der Zyklen von \(F\) durch \(a\) nach der einen oder der anderen der eben genannten Untergruppen bildet, \textit{Betti}sche Gruppen \(B^s_a(F)\) bzw. \(\bar B^s_a(F)\) in \(a\) bzw. \textit{durch} \(a\) und dazu \textit{Betti}sche Zahlen \(p^s_a(F)\) bzw. \(\bar p^s_a(F)\). Falls \(F\) in \(a\) lokal zusammenhängend für die Dimension \(s\) ist oder dort keine \(s\)-dimensionale Kondensation besitzt, fallen beide Begriffe zusammen. Im allgemeinen ist \(p^s(a,F) \geqq p^s_a(F) \geqq \bar p^s_a(F)\). Die Gleichheitszeichen gelten immer, wenn in \(a\) keine \(s\)-dimensionale Kondensation vorliegt. -- Schließlich werden noch \textit{Betti}sche Gruppen von \(R^n-F\) \textit{an} \(a\) (``at'' \(a\)) eingeführt, die, wenn \(F\) keine \(s\)-dimensionale Kondensation in \(a\) hat, mit den eben definierten Gruppen einen Dualitätssatz erfüllen. -- Eine weitere Anwendung bezieht sich auf den \textit{Brouwer}schen Begriff der Unbewalltheit. Die angeführten Definitionen und die meisten Ergebnisse behalten Sinn, wenn man statt der rationalen Zahlen eine abelsche Gruppe \(\mathfrak F\) als Koeffizientenbereich nimmt. Das ist besonders in Zusammenhang mit der Homologiedefinition der Dimension (Verf., Math. Ann. 106 (1932), 161-238; JFM 58.0624.*) wichtig. \(F\) sei bezüglich \(\mathfrak F\) \(r\)-dimensional; dann heißt \(a\) ein Kernpunkt von \(F\), wenn für eine Teilmenge \(F'\) von \(F\) die bezüglich \(\mathfrak F\) gebildete Gruppe \(\bar B^r_a(F',\mathfrak F)\) nicht null ist. Es gilt: Jede abgeschlossene Menge \(F\) enthält Kernpunkte bezüglich jedes Koeffizientenbereichs; die Menge \(N(F)\) der Kernpunkte enthält \(r\)-dimensionale abgeschlossene Teilmengen, \(F - N (F)\) dagegen nicht. Ist \(r = n\), so ist \(N(F)\) mit der Menge der inneren Punkte von \(F\) bezüglich \(R^n\) identisch. -- Die \textit{Brouwer}sche Dimension von \(F\) ist gekennzeichnet als größte Zahl \(r\) von der Eigenschaft, daß es in \(F\) einen Punkt \(a\) mit nicht verschwindender \(B^r_a(F,\mathfrak R_1)\) gibt; \(\mathfrak R_1\) bezeichnet die mod 1 reduzierten rationalen Zahlen. Die Arbeit schließt mit einer Reihe von Problemen und Anregungen, unter anderem bezüglich einer verallgemeinerten Mannigfaltigkeitsdefinition.