Quelques retractes singuliers. (Q2615520)

\(A\) und \(B\) seien zwei zueinander fremde in sich kompakte metrische Räume, \(C \subset A\) abgeschlossen und \(f\) eine stetige Abbildung von \(C\) in \(B\). Unter \(A + B\) versteht Verf. den Zerlegungsraum derjenigen stetigen Zerlegung von \(A + B\), deren Zerlegungsmengen die Mengen \(x + f^{-1}(x)\) für \(x\in f(C)\) sowie die einzelnen Punkte von \(A-C\) und \(B -f(C)\) sind. Es gilt dim \((A + B) = \max (\dim (A - C), \dim B)\). Verf. zeigt: Sind \(A, B, C\) absolute Umgebungsretrakte, so ist \(A + B\) lokal zusammenziehbar; sind außerdem \(A, B, C\) in sich zusammenziehbar, so auch \(A + B\). Absolute Retrakte (bzw. absolute Umgebungsretrakte) \(A, B, C\) von endlicher Dimension führen demnach zu einem absoluten Retrakt (bzw. absoluten Umgebungsretrakt) \(A + B\) mit der Dimension max (dim (\(A-C\)), dim \(B\)). Es sei \(2 \leqq m < n\). \(\mathfrak U(m, n)\) sei der Raum \(A + B\), der entsteht, wenn man für \(A\) ein \(m\)-dimensionales, für \(B\) ein \(n\)-dimensionales Element, für \(C\) einen einfachen Bogen im Innern von \(A\) und für \(f\) eine stetige Abbildung von \(C\) \textit{auf} \(B\) (d.h. \(f(C) = B)\)) nimmt. \(\mathfrak B(m, n)\) ist ebenso definiert, nur hat man für \(A\) eine \(m\)-dimensionale Sphäre zu nehmen. Verf. zeigt: Die Räume \(\mathfrak U(m, n)\) sind absolute Retrakte von der Dimension \(n\), die für eine topologische \((m-1)\)-Sphäre irreduzible Homologiemembran ist. Die \(\mathfrak B(m, n)\) sind \(n\)-dimensionale absolute Umgebungsretrakte mit den \textit{Bettischen} Zahlen der \(m\)-dimensionalen Sphäre, die für jede ihrer abgeschlossenen echten Teilmenen Homotopiemembranen sind. Dabei heißt ein Raum \(E\) Homologie- bzw. Homotopiemembran für seine abgeschlossene Teilmenge \(F\), wenn \(F\) in \(E\) auf einen Punkt zusammengezogen werden kann bzw. wenn jeder wahre Zyklus von \(F\) in \(E\) berandet; das Wort ``irreduzibel'' besagt, daß keine abgeschlossene echte Teilmenge von \(E\) die Membraneigenschaft hat.