On the tritangent planes of a quadri-cubic space curve. (Q2615686)

Eine Raumkurve \(C{4\atop6}\) (Ordnung 6, Geschlecht 4) hat 120 dreifache Tangentialebenen \(E\) und \(\infty ^1\) Kontakt-\(Q_{2}\) (\(=\) Flächen zweiter Ordnung \(Q_{2}\), die \(C{4\atop6}\) in sechs Punkten berühren). Diese Kontakt-\(Q_{2}\) zerfallen in 255 Familien, und in jeder Familie gibt es 28 zerfallende \(Q_{2}\). Für das Studium dieser räumlichen Konfiguration empfiehlt es sich, eine Bezeichnung zu verwenden, die von zehn Buchstaben ausgeht: Die 120 Ebenen \(E\) können dann durch je drei Buchstaben, die 255 Familien der \(Q_{2}\) durch zwei oder vier der Buchstaben festgehalten werden. Verf. bespricht dann kurz die Resultate, die \textit{W. P. Milne} (Proc. London math. Soc. (2) 21 (1922), 373-380; F. d. M. 48, 736 (JFM 48.0736.*)) und \textit{P. Roth} (Monatshefte f. Math. 22 (1911), 64-88; F. d. M. 42, 473 (JFM 42.0473.*)) über diese Konfiguration erhalten haben. Er verwendet hiervon im Weiteren die Fläche \(D_{3}\) dritter Ordnung mit vier Doppelpunkten, die durch eine Kontakt-\(Q_{2}\) bestimmt und deren Existenz zuerst von \textit{Roth} und \textit{Milne} nachgewiesen worden ist. Hauptaufgabe der vorliegenden Arbeit ist der Nachweis von Quadrupeln von dreifachen Tangentialebenen \(E\), die sich folgendermaßen ergeben: Wenn zwei Kontakt-\(Q_{2}\) derselben Familie zerfallen, etwa \(Q_2^\prime\) in die Ebenen \(x_{0} = 0\), \(x_1 = 0\) und \(Q_2^{\prime\prime}\) in \(x_2 = 0\), \(x_3 = 0\), so liegen die zwölf Berührungspunkte von \(Q_2^\prime\) und \(Q_2^{\prime\prime}\) mit der \(C{4\atop6}\) auf einer neuen Fläche \(F_{2}\). Die Ebenenpaare \(x_{0}\), \(x_{2}\) und \(x_1\), \(x_{3}\) bilden dann zwei zerfallende Kontakt-\(Q_{2}\) einer zweiten, die Paare \(x_{0}\), \(x_{3}\) und \(x_1\), \(x_{2}\) die einer dritten Familie. Zu jeder dieser Familien gehört dann eine \(D_{3}\). Der Nachweis dieser Tatsachen erfolgt analytisch verhältnismäßig einfach. Sind \(w\), \(x\), \(y\), \(z\) homogene Koordinaten, \(a\), \(b\), \(c\) drei Konstanten mit \(a + b + c = 0\) und \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \) drei Linearformen mit \(\alpha +\beta +\gamma =0\), so wird \[ \begin{aligned} D(\vartheta )&=abc\cdot \begin{vmatrix}\;&\;&\\ w+\dfrac{1}{a}(\alpha -\vartheta )&z&y\\ z&w+\dfrac{1}{b}(\beta -\vartheta )&x\\ y&x&w+\dfrac{1}{c}(\gamma -\vartheta )\end{vmatrix}\\ &=(\alpha -\beta )(\gamma -\vartheta )+S\vartheta +T\end{aligned} \] gesetzt. Die Raumkurve \(C{4\atop6}\) ist dann bestimmt durch den Schnitt der Fläche zweiter Ordnung \(S = 0\) und der Fläche dritter Ordnung \(T = 0\). Die drei oben genannten Flächen \(D_{3}\) werden dann durch \[ D(\alpha )=0,\;\;D(\beta )=0,\;\;D(\gamma )=0 \] und die vier Tangentialebenen \(E\) durch \[ w+x+y+z=0,\;w+x-y-z=0,\;w-x+y-z=0\;\text{und}\;w-x-y+z=0 \] dargestellt.