Il teorema sul minimo numero dei vertici di un'ovale ed alcune sue estensioni. (Q2615769)

Mittels eines Satzes von \textit{E. Schmidt} (Sitzungsber. Akad. Berlin 1925, 485-490 (F. d. M. 51, 542 (JFM 51.0542.*)-543); \textit{W. Blaschke}, Vorlesungen über Differentialgeometrie I, 3. Aufl. (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 588-589), insbesondere S. 61) wird zunächst gezeigt: Haben zwei stetig gekrümmte, ebene konvexe Kurvenbögen gleiche Bogen- und gleiche Sehnenlänge und sind ihre Punkte durch gleiche Bogenlänge paarweise aufeinander bezogen, so gibt es darauf mindestens ein Paar entsprechender Punkte mit gleicher Krümmung. Daraus folgt ganz einfach: Sind die Punkte zweier Ovale gleicher Länge einander durch gleiche Bogenlängen zugeordnet, so gibt es mindestens vier Paare entsprechender Punkte, in denen der Unterschied der Krümmung beider Kurven verschwindet, während er dazwischen zweimal ein Maximum und zweimal ein Minimum erreicht. Setzt man hier für eines der Ovale den Kreis, so ergibt sich unmittelbar der Vierscheitelsatz in vervollständigter Form. Auf demselben Wege findet Verf. noch weitere Eigenschaften von Ovalen, z. B. daß man auf einem Oval auf mindestens zwei Arten zwei Punkte gleicher Krümmung finden kann, welche dasselbe in zwei gleichlange Stücke zerlegen. Den Schluß bildet eine mechanische Deutung der Ergebnisse auf Grund des Tangentenbildes (vgl. \textit{W. Blaschke, Kreis} und \textit{Kugel} (1916, F. d. M. 46, 1109 (JFM 46.1109.*)), insbesondere S. 116 und 160). -- Daß der Vierscheitelsatz schon auf ähnliche Weise von \textit{D. Fog } (Sitzungsber Akad. Berlin 1933, 251-254; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 713-714) hergeleitet wurde, ist Verf. offenbar entgangen.