Bemerkungen zur Differentialgeometrie der konvexen Flächen. I: Kürzeste Linien auf differenzierbaren Flächen. II: Über die Krümmungsindikatrizen. (Q2615771)

\textbf{I.} In einer anderen Arbeit (Acta math. 66 (1936), 1-47; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 832) haben die Verf. bewiesen, daß auf einer konvexen Fläche \(\varPhi\) ein von einem Punkte \(P\) ausgehender kürzester Bogen dortselbst eine Halbtangente und eine Schmiegebene besitzt, wenn \(\varPhi\) in \(P\) eine Tangentialebene hat, und daß die Schmiegebene auf der Tangentialebene senkrecht steht. Für jeden inneren Punkt des kürzesten Bogens, in dem \(\varPhi\) differenzierbar ist, fallen die beiden Halbtangenten zusammen. Bekanntlich existiert zu je zwei Punkten von \(\varPhi\) wenigstens eine kürzeste Verbindung; doch braucht, wie die Verf. nunmehr an einem Beispiel zeigen, von einem Punkt nicht in jeder Richtung ein kürzester Bogen auszugehen, selbst dann nicht, wenn die konvexe Fläche \(\varPhi\) überall differenzierbar ist und in jedem Punkt endliche {einseitige) Normalkrümmungen besitzt. (Die einseitigen Normalkrümmungen sind als einseitige Krümmungen der ebenen Normalschnitte erklärt; die einseitige Krümmung einer ebenen Kurve \(k\) in einem Punkte \(P\) mit der Tangente \(t\) wird mit Hilfe von Kreisen erklärt, die \(k\) in \(P\) berühren und noch durch einen weiteren, auf der betreffenden Seite liegenden Punkt \(Q\) von \(k\) gehen. Ist \(r (Q)\) der Radius des Kreises, so werden obere und untere einseitige Krümmung als lim sup bzw. lim inf von \(\dfrac 1{r(Q)}\) für \(Q \to P\) definiert.) Der Existenzsatz gilt jedoch wieder, sobald man noch die Beschränktheit der oberen einseitigen Normalkrümmungen hinzunimmt, und zwar geht dann durch jeden Punkt von \(\varPhi\) in jeder Richtung genau ein kürzester Bogen. Darüber hinaus gilt folgendes: Sind zwei Punkte von \(\varPhi\) auf zwei verschiedene Arten durch einen kürzesten Bogen verbindbar, so haben sie eine Entfernung \(\geqq \pi R\), wenn \(\dfrac 1R\) die Schranke der einseitigen Normalkrümmungen ist. (Beweis durch Approximation von \(\varPhi\) mit Hilfe analytischer Flächenstücke, deren Normalkrümmungen im Wesentlichen denselben Beschränkungen unterliegen, die für \(\varPhi\) gelten.) \textbf{II.} Die Verf. haben l. c. bewiesen, daß das unter hinreichenden Regularitätsvoraussetzungen geltende klassische Resultat über die Krümmungsindikatrizen konvexer Flächen auch noch für fast alle Punkte beliebiger konvexer Flächen gilt. In einem einzelnen Flächenpunkt, in dem \(\varPhi\) eine Tangentialebene besitzt, brauchen jedoch keine Normalkrümmungen zu existieren. Hier kann man nun mit Hilfe der oberen und unteren einseitigen Normalkrümmungen eine innere und eine äußere Indikatrix definieren. Verf. machen Aussagen über den Wertevorrat der oberen und unteren einseitigen Normalkrümmungen, also über die als Indikatrizen auftretenden Punktmengen. Es ergeben sich verschiedene Typen, die sämtlich mit Beispielen belegt werden. \ \ (V 6 A.)}