Espaces abstraits courbes de König. (Q2615828)

Verf. konstruiert eine Geometrie mit projektivem Zusammenhang für einen \textit{König}schen Raum (vgl. \textit{R. König}, Jahresber. D. M. V. 28 (1919), 213-228; F.~d.~M. 47, 686), der sich ergibt, wenn man jedem Punkte \(P\) einer \(X_n\) den Raum \(K_N(P)\) zuordnet, der als Elemente die in \(P\) bis auf einen willkürlichen Faktor \(\neq 0\) gegebenen kovarianten Tensoren \(r\)-ter Stufe \((r \geqq 1)\) von \(X_n\) besitzt. Legt man für die Kombinationen mit Wiederholung zu Klasse \(r\) der Zahlen \(1, \, 2, \ldots \!, n\) eine wohlbestimmte ``natürliche Ordnung'' fest und kennzeichnet man jede dieser Kombinationen durch einen Index \(a, \, b, \, c, \ldots\), so lassen sich die Koeffizienten \[ P_{\lambda_1 \ldots \lambda_r}^{\nu_1 \ldots \nu_r} = \varDelta^{- \frac{r}{n}} \, \frac{\partial {\overline{\xi}}^{\nu_1}}{\partial \xi^{\lambda_1}} \cdots \frac{\partial {\overline{\xi}}^{\nu_r}}{\partial \xi^{\lambda_r}} \] der Transformationsformeln eines affinen Tensors vom Gewicht \(\dfrac{r}{n}\) der \(X_n\) \(\left( \varDelta = \left| \, \dfrac{\partial \overline{\xi}}{\partial \xi} \, \right| \right)\) mit \(P^{a}_b\) bezeichnen, und es gilt \[ P = | \, P^{a}_b \, | = 1. \] Die lineare Gruppe der Koeffizienten \(P_{a}^b\) wird als Gruppe zugrunde gelegt. In jedem Punkte \(P\) gehört zu einer solchen Gruppe eine lokale projektive Geometrie (von spezieller Natur). Die lokalen projektiven Räume \(K_N\) werden durch ein Übertragungsgesetz miteinander verknüpft, das auf einem interessanten direkten geometrischen Wege erklärt ist (der mit dem Verfahren Berührungspunkte aufweist, das Verf. später zusammen mit dem Ref. in Ann. di Mat, (4) 15 (1936), 1-45, 129-145 (F.~d.~M. 62\(_{\text{I}}\), 884; 62\(_{\text{II}}\)) angewendet hat). Die Übertragung gibt Anlaß zu einem \textit{projektiven Differential} für die Tensoren mit Indices \(a, \, b, \, c, \ldots\). Verf. untersucht die zugehörige Krümmung, macht eine bemerkenswerte Anwendung auf die Theorie des \textit{Weyl}schen Zusammenhanges und verweilt bei dem Spezialfall \(r = n = 2\). Sodann untersucht er die Geometrie der \textit{untergeordneten Mannigfaltigkeiten} \(K_M\) in \(K_N\) und gelangt schließlich zur Aufstellung eines Systems von Fundamentalgleichungen, das als Spezialfälle die Gleichungen von \textit{Gauß}, \textit{Codazzi} und \textit{Kühne} enthält, und zwar sowohl für die \(K_M\) in \(K_N\) als auch für die \(K_P\) \((P = N - M - 1)\), vermöge welcher die \textit{Einspannung} der \(K_N\) bewerkstelligt wird. Eine Anwendung dieser Theorie hat \textit{F. Vyčichlo} gegeben (Invariants d'un champs tensoriel dans un espace projectif courbe, Časopis, Praha, 67 (1937), 26-61; F.~d.~M. 63).