Über einige nichtstationäre Schwingungsvorgänge. (Q2615968)

Für die Lösung von Differentialgleichungen der Form \[ x'' + x= \mu f (x, x')\qquad (\mu \;\text{kleiner, positiver Parameter}) \] hat \textit{van der Pol} den Ansatz \(x=u(t)\sin t - v(t)\cos t\) vorgeschlagen. Für kleine \(\mu\) werden sich \(u\) und \(v\) mit der Zeit \(t\) nur langsam ändern. Infolgedessen können, in erster Annäherung auf der linken Seite der Ausgangsgleichung alle Glieder mit \(u''\), \(v''\), auf der rechten Seite wegen des Faktors \(\mu\) sogar die mit \(u'\), \(v'\) vernachlässigt werden. Setzt man dann die Koeffizienten von \(\sin t\) und \(\cos t\) einzeln gleich Null, so ergeben sich zwei wesentlich vereinfachte Gleichungen erster Ordnung, die sich oft streng integrieren lassen werden. Verf. unternimmt es, diesem praktisch bereits bewährten Verfahren eine theoretische Begründung zu geben. Er untersucht, unter welchen Bedingungen die strenge Lösung des ``gekürzten'' Systems als brauchbare Näherungslösung der Ausgangsgleichung betrachtet werden kann. Durch die Methode der sukzessiven Approximationen gelingt es ihm, den Gültigkeitsbereich des Verfahrens streng zu umgrenzen. Auf die Möglichkeit, es auf die allgemeinere Gleichung \(x'' + x = \mu f(x, x') +\lambda\sin nt\) auszudehnen, wird hingewiesen. Zur Erläuterung dient ein Beispiel aus der Technik.