Zur Lösung der Diracgleichung für ein zentralsymmetrisches Kraftfeld. (Q2616338)

Verf. gibt eine neue Methode zur Lösung der \textit{Dirac}gleichung für ein skalares zentralsymmetrisches Kraftfeld: \[ \varPhi_1 = \varPhi_2 = \varPhi_3 = 0, \quad \varPhi_4 = i\varPhi (r). \] Nach Abspaltung der Zeitabhängigkeit lautet die zu lösende \textit{Dirac}gleichung \[ \Omega\psi\equiv\left\{\gamma_r\left(\dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{X}{r}\right) - \gamma_4\dfrac{E e\varPhi}{\tfrac{h}{2\pi}c} + \dfrac{E_0}{\tfrac{h}{2\pi}c}\right\}\psi = 0, \tag{1} \] wo \[ X = -2\left(\dfrac{h}{\pi 2}\right)^{-2} \;(\mathfrak{sm})=i(\vec{\sigma}[\mathfrak{r}\text{ grad}]) \] mit \[ \mathfrak{s} = \dfrac{h}{4\pi}\vec{\sigma} \qquad \left(\vec{\sigma} = \left\{\dfrac{1}{i}\gamma_2\gamma_3, \dfrac{1}{i}\gamma_3\gamma_1, \dfrac{1}{i}\gamma_1\gamma_2\right\}\right) \] und \[ \mathfrak{m} = [\mathfrak{rp}] \qquad \left(\mathfrak{p} = \dfrac{h}{2\pi i}\text{ grad}\right) \] ist. Ist \(\mathfrak{M} = \mathfrak{m} + \mathfrak{s}\) der Gesamtdrehimpuls, so führen die Ansätze \[ \mathfrak{M}^2\psi = \left(\dfrac{h}{2\pi}\right)^2 j(j+1)\psi, \quad \gamma_4(x-1)\psi = \lambda\psi \] Gleichung (1) in \[ \left\{\gamma_r\left(\dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{1+\lambda\gamma_4}{r}\right) \gamma_4\dfrac{E-e\varPhi}{\tfrac{h}{2\pi}c} + \dfrac{E_0}{\tfrac{h}{2\pi}c}\right\}\psi = 0, \tag{2} \] über, während noch \(\lambda = \pm (j + \frac{1}{2})\) sein muß. \(\gamma_4\) wird durch den Ansatz \[ \psi = (1+\gamma_4)\psi_1 + (1-\gamma_4)\psi_2 \] eliminiert. Für \(\psi_1\) und \(\psi_2\) wird der Separationsansatz: \[ \psi_1 = U\chi, \quad \psi_2 = \gamma_rV\chi \] gemacht, wo die nur von \(r\) abhängigen Funktionen \(U\) und \(V\) durch zwei Bestimmungsgleichungen bestimmt sind, während sich für das von den Winkeln abhängende \(\chi\) mit dem Ansatz \[ \chi = (\lambda + X)\omega \] die Gleichung \[ \Lambda\omega\equiv ([\mathfrak{r}\text{ grad}][\mathfrak{r}\text{ grad}])\omega = -\lambda(\lambda + 1)\omega, \] also die Differentialgleichung der Kugelfunktionen ergibt, so daß sich \(\lambda\) ganzzahlig und damit \(j\) halbzahlig ergibt. Damit kann die Lösung \(\psi\) der Gleichung (2) explicite angeschrieben werden.