Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus. Beweistheorie. (Q2616494)

Verf. stellt hier die Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik mit Ausnahme des Logizismus dar. Der erste Abschnitt behandelt den Intuitionismus, der zweite, Axiomatik und Beweistheorie überschrieben, den Formalismus, der dritte einige andere Standpunkte, der vierte die Frage der Anwendbarkeit der Mathematik auf die Naturwissenschaften. Wohl nirgendwo ist bisher mit solcher Schärfe und mit so klarer Hervorhebung der wirklich wesentlichen Punkte über die Grundlagenforschung referiert worden. Es ist wohl bezeichnend, daß die Bedeutung mancher Streitigkeiten, die bisher auch dem aufmerksamen Betrachter als unfruchtbarer und unklarer Streit um Worte erscheinen mochten, erst aus dem vorliegenden Werk deutlich hervorgeht. \flushpar Verf. beginnt mit dem Einfluß \textit{Poincaré}s und den französischen Halbintuitionisten; es ist wohl die erste systematische Zusammenstellung dieser Theorien. Dann folgt die erste \textit{Weyl}sche Theorie und der Standpunkt von \textit{Kaufmann}. Die Darstellung des \textit{Brouwer}schen Intuitionismus bildet den am meisten abgerundeten Teil des Werkes; zum Teil entspringt das dem Wesen der Sache, einfach weil der Intuitionismus an und für sich weniger Willkür und Meinungsverschiedenheiten zuläßt. Trotzdem scheint es, als ob Verf. in dieser Richtung etwas übertreibe. Daß es auch beim \textit{Brouwer}schen Intuitionismus eine Entwicklung des Standpunktes gegeben hat (wenn auch nicht annähernd mit so scharfen Wendungen wie beim Formalismus), ist den Ausführungen des Verf. kaum zu entnehmen. Bei der Lektüre der Darstellung des Intuitionismus wird man immer wieder überrascht durch die Klarheit der Formulierung; besonders schön ist das Beispiel, das den Zusammenhang zwischen dem Nichtverschwinden eines Pro duktes und dem Nichtverschwinden eines seiner Faktoren behandelt. Dagegen scheint Verf. den Wert eines intuitionistischen Logikkalküls doch zu überschätzen; es ist wohl unwarscheinlich, daß sich intuitionistisch die Gültigkeit derartig allgemeiner Formeln, wie sie die Axiome darstellen, einsehen läßt (wenn sie überhaupt eine befriedigende Interpretation gestatten). \flushpar Bei seiner Betrachtung des Formalismus spricht Verf. zunächst über die Axiomatik schlechthin und über einzelne axiomatische Systeme. Dann stellt er \textit{Hilbert}s Beweistheorie und die an sie anschließenden Untersuchungen anderer historisch und systematisch dar. Besonders das Historische ist sehr schön ausgeführt. Schließlich werden Intuitionismus und Beweistheorie einander gegenübergestellt. Es wird deutlich gezeigt, wo man sich eigentlich schon geeinigt hat, und wo noch Mißverständnisse bestehen. \flushpar An ``anderen Standpunkten'' werden hauptsächlich die von \textit{Mannoury} und \textit{Pasch} behandelt. \flushpar In ``Mathematik und Naturwissenschaft'' endlich führt Verf. aus, daß in der Frage der Anwendbarkeit die Stadpunkten \textit{Brouwer}s und \textit{Hilbert}s viel weiter auseinander liegen als in der Frage der Grundlage der Mathematik selbst. es fragt sich für Ref. allerdings, ob ein bei der Grundlagenforschung eingenommener Standpunkt wirklich so eindeutig einen Standpunkt zur Frage der Anwendbarkeit bedingt wie es nach Verf. scheinen möchte. \flushpar Auf S. 53 scheint sich übrigens ein Neerlandismus zu finden; in Zeile 11 von unten muß es wohl statt ``hochherzig'' heißen ``hochmütig''.