Sind die mathematischen Urteile analytisch oder synthetisch? (Q2616500)

Diese durch \textit{Kant} berühmt gewordene Frage wird auf logizistischer Grundlage erneut gestellt. Verf. kommt zu dem Ergebnis, das sich für den eingeschworenen Logizisten von selbst versteht: Alle mathematischen Urteile sind insgesamt analytisch. Dabei versteht Verf. unter einem analytischen Urteil ein Urteil, das nach Ersetzung der vorkommenden definierten Begriffe durch ihre Definitionen in den Grundbegriffen sich als ein rein logisches Gesetz oder ein Anwendungsfall eines solchen darstellt. Die geometrischen Urteile können aufgefaßt werden als Urteile des Typs ``Wenn \(A\) gilt, so gilt \(X\)'', worin \(X\) aus \(A\) rein logisch folgt, und sind mithin analytisch, oder sie werden völlig auf Arithmetik zurückgeführt (dann gilt es, den analytischen Charakter der Arithmetik nachzuweisen), oder sie sind nach dem Vorbilde \textit{Poincaré}s überhaupt keine Urteile, sondern willkürliche Festsetzungen. Die Arithmetik schließlich ist nach \textit{Frege - Russell} Logik, wenn man die Logik nach \textit{Russell}s Vorbilde symbolisch axiomatisiert. Die Ausführungen \textit{Behmann}s bieten hier in keiner Hinsicht irgend etwas Neues. \flushpar Eine Kritik der \textit{Behmann}schen Arbeit liefe auf eine Kritik des Logikkalküls hinaus. Es wäre verdienstvoll, wenn einmal der Logikkalkül in seinem methodischen Grundlagen untersucht würde. Die Art, wie im Logikkalkül Aussagen und Aussagenfunktionen verknüpft werden, steht total unter methodisch-mathematischen Voraussetzungen, also unter dem Begriff des mathematischen Ansatzes. Der Logizist setzt Aussagen wie Elemente und Wahrheit und Falschheit wie Werte an. Wenn der Logizist behauptet, daß Mathematik Logik sei, so ist ihm entgegenzuhalten, daß seine Logik Mathematik ist. \flushpar Die Frage ``sind die mathematischen Urteile analytisch oder synthetisch?'' ist durch den Logikkalkül gar nicht zu entscheiden. Der mathematische Schluß steht im Dienste der Problemlösung. Das Problem wird gewiß durch Schließen aus den Axiomen entschieden. Immer ist die Identität der Axiome mit sich der alleinige Bestimmungsgrund. Aber der Schluß erhält erst Richtung und Aufgabe durch das Problem. Bestünde Mathematik nur in jenem deduktiven Schließen, dann wäre ein mathematischer Satz nur als bewiesener Satz möglich. Er ist aber als Problem Aufgabe eines Beweises. Mathematische Axiome führen auf Aufgaben. Der Begriff des mathematischen Schlusses ist nur vom Begriff des mathematischen Problems her zu klären. Wie machen problemlose Ansätze (Axiome) Probleme in der Mathematik möglich? Dieser Frage wird die Redeweise vom rein logischen Erschließen nicht gerecht. Aber diese Frage muß erst einmal gestellt werden, wenn man den mathematischen Schluß und eine so diffizile Frage wie die: ``Sind die mathematischen Urteile analytisch oder synthetisch?'' angehen will. Dazu gehört allerdings eine erkenntnistheoretische Untersuchung über den Begriff des mathematischen Axioms, die der Logikkalkül gar nicht leisten kann, weil er von der Funktion des mathematischen Axioms Gebrauch macht.