Hypothèse du continu. (Q2616566)

Verf. unterzieht sich in diesem wertvollen Buche der überaus dankenswerten Aufgabe, einen umfassenden Überblick über die Forschungen zu geben, die sich auf die Kontinuumhypothese \( 2^{\aleph _0} = \aleph _1 \) (abgekürzt: ``H'') beziehen. In den letzten Jahren haben vor allem Verf. selbst, dann aber auch eine Reihe seiner Schüler und Mitarbeiter und einige andere Mathematiker eine Fülle von Folgerungen aus \(H\) gezogen und interessante Zusammenhänge aufgedeckt. Dies alles wird in dem Buche mit vorbildlicher Klarheit und Sorgfalt in flüssiger Darstellung verarbeitet. Natürlich wird durchweg genau zwischen Folgerungen aus hypothetischen Annahmen und hypothesenfreien Sätzen unterschieden. Es wird auch immer angegeben, wie weit man zur Zeit ohne \(H\) gekommen ist, und es werden zwischen den verschiedenen Konsequenzen von \(H\) zahlreiche Querverbindungen hergestellt. \flushpar Das 1. Kap. bespricht elf Sätze, die mit \(H\) gleichwertig sind, z. B. \(P_2:\) Man kann die Ebene als Vereinigung von abzählbar vielen ``Kurven'' von der Form \(y = f(x)\) oder \(x = f(y)\) darstellen, wobei \(f\) eine eindeutige Funktion bedeutet. - Das 2. Kap. behandelt die \textit{``Lusin}schen Mengen''. Eine lineare Menge \(E\) besitzt die \textit{Eigenschaft L}, wenn jede nirgends dichte, perfekte Menge höchstens abzählbar viele Punkte von \(E\) enthält. \textit{Lusin} (C. R. 158 (1914), 1259; F. d. M. 45, 632 (JFM 45.0632.*)) hatte auf Grund von \(H\) den Satz \(C_1\) bewiesen, daß eine lineare Menge von der Mächtigkeit \(\mathfrak {c}\) mit der Eigenschaft \(L\) existiert. Verf. untersucht zunächst allgemein die Menge mit der Eigenschaft \(L\); sodann wird aus dem Satz \(C_1\) eine Reihe von 23 Sätzen hergeleitet (ohne daß dabei nochmals \(H\) verwendet wird). - Das 3. Kap., das zwar ebenfalls vielfach von \(C_1\) Gebrauch macht, aber doch regelmäßig noch direkt auf \(H\) zurückgreift, beschäftigt sich mit den Beziehungen zwischen den Begriffen Kategorie und Maß und insbesondere mit einer gewissen ``\textit{Dualität}'' zwischen den Mengen erster Kategorie und den Mengen vom Maße Null. Diese Dualität wird zunächst durch einen vom Verf. auch in Fundamenta 22 (1934), 276 - 280 (F. d. M. \(60_{\text I}\), 40) veröffentlichten, mittels \(H\) bewiesenen Satz \(C_{25}\) beleuchtet. Übrigens dient diese Dualität zn verschiedenen Stellen des Buches dazu, um aus bereits bekannten Sätzen neue Sätze herzuleiten. Zu \(L\) ist folgende ``\textit{Eigenschaft S}'' dual: Eine lineare Menge \(E\) besitzt die Eigenschaft \(S\), wenn jede lineare Nullmenge höchstens abzählbar viele Punkte von \(E\) enthält. Der zu \(C_1\) duale Satz \(C_{26}\) daß eine lineare Menge von der Mächtigkeit \(\mathfrak {c}\) mit der Eigenschaft \(S\) existiert, folgt unmittelbar aus \(C_{25}\); (er war früher vom Verf. (Fundamenta 5 (1924), 184 - 185; F. d. M. 50, 137 (JFM 50.0137.*)) direkt mittels \(H\) bewiesen worden). Nach eingehender Untersuchung von \(S\) wird insbesondere aus \(C_{26}\) eine große Reihe von Folgerungen gezogen. Auch die folgende ``\textit{Eigenschaft} \(\lambda \)'' einer Menge \(E\) (die übrigens jeder Menge mit der Eigenschaft \(S\) zukommt) wird hier genauerbetrachtet: Jede abzählbare Teilmenge von \(E\) soll ein \(G_{\delta }\) rellativ zu \(E\) sein. - Das 4. Kap. bringt eine Fülle von weiteren Konsequenzen (\(C_{48}\) bis \(C_{80}\)) von \(H\). Sie betreffen: Zerlegung der Ebene; Funktionen- und Mengen-Folgen; Maß und Kategorie; Familien von Mengen, die paarweise höchstens abzählbar viele Elemente gemeinsam haben; Abbildung mittels \textit{Baire}scher Funktionen; geordnete Universalmengen; Komplemente analytischer Mengen (hier wird mittels \(H\) gezeigt \((C_{78})\), daß jede nicht-abzählbare lineare Menge eine nicht-abzählbare Teilmenge besitzt, die kein nicht-abzählbares Komplement einer analytischen Menge enthält); Dimensiontypen u. a. - Themen, die größtenteils auch schon in den drei ersten Kapiteln eine Rolle gespielt haben. - Im 5. Kap. wird eine Hypothese untersucht, die schwächer als \(H\) ist. Die Kardinalzahl \(\aleph _{\alpha }\) heißt ``unerreichbar'', wenn sie sich nicht als Summe von weniger als \(\aleph _{\alpha }\) Kardinalzahlen, von denen jede \(< \aleph _{\alpha }\) ist, darstellen läßt und wenn der Index \(\alpha \) eine Grenzzahl ist. Die Hypothese (=\(C_{81}\)) lautet nun: Es existiert kein unerreichbares Aleph \(\leq 2^{\aleph _0}\) (vgl. dazu \textit{Sierpiński}, Fundamenta 22 (1934), 1-3; 23 (1934), 125 - 134; F. d. M. \(60_{\text I}\), 39). - Ein sehr kurzes 6. Kap. weist darauf hin, daß in einigen Fällen effektive Beispiele für Mengen mit gewissen Eigenschaften (bisher) nur mittels \(H\) gewonnen werden konnten. - Das (ebenfalls kurze) 7. Kap. enthält Folgerungen aus der ``\textit{verallgemeinerten Kontinuumhypothese}'': Gegeben sei eine Kardinalzahl \(\mathfrak {m} \geq \aleph _0\); dann existiert keine Kardinalzahl \(\mathfrak {n}\), so daß \(\mathfrak {m} < \mathfrak {n} < 2^{\mathfrak {m}}\) ist. Dies kann vorausgesetzt werden entweder für jedes beliebige \(\mathfrak {m}\) oder auch speziell nur für bestimmtes, festes \(\mathfrak {m}\). - Ein Anhang bespricht eine während der Drucklegung des Buches erhaltene, briefliche Mitteilung von \textit{Lusin}, wonach auf Grund einer neuen Methode gewisse Sätze, die bisher nur mittels \(H\) gewonnen wurden, nunmehr ohne \(H\) bewiesen werden können. (Vgl. dazu \textit{Lusin}, C. R. 198 (1934), 1671 - 1674; F. d. M. \(60_{\text I}\), 39). \flushpar Schließlich werden auf einer Tafel die zu \(H\) äquivalenten Aussagen und die Folgerungen aus \(H\) mit allen ihren gegenseitigen Beziehungen sehr übersichtlich schematisch dargestellt, und in einer zehn Seiten umfassenden, detaillierten Inhaltsübersicht wird - außer der Gliederung des Buches - für alle jene Sätze Wortlaut und Seitenzahl angegeben, was den Gebrauch des Buches sehr erleichtert.