Sur les ensembles jouissant de la propriété de Baire. (Q2616569)

Die Aussage, daß eine Menge \(M\) die \textit{Baire}sche Eigenschaft besitzt, kann so gefaßt werden: Für jede perfekte Menge \(P\) ist \(M \cdot P\) als Summe einer \textit{Borel}schen Menge und eine Menge erster Kategorie bezüglich \(P\) darstellbar. \flushpar Nun hat \textit{Szpirlajn} folgende Frage gestellt: Man teile die linearen Mengen, die die \textit{Baire}sche Eigenschaft besitzen, so in Klassen ein, daß zwei Mengen dann und nur dann derselben Klasse angehören, wenn sie sich nur um eine Menge unterscheiden, die auf jeder perfekten Menge von erster Kategorie ist. Welches ist die Mächtigkeit der Familie \(F\) dieser Klassen? \flushpar Verf. beantwortet diese Frage folgendermaßen: Unter der Voraussetzung der Kontinuumhypothese besitzt \(F\) die Mächtigkeit \(2^{2^{\aleph _0}}\). Ohne diese Voraussetzung (nur mittels des Auswahlaxioms) kann Verf. wenigstens noch nachweisen, daß die Mächtigkeit von \(F \geq 2^{\aleph _1}\) ist.