La propriété de Baire des ensembles et l'homéomorphie généralisée. (Q2616572)

\textit{Kuratowski} (Topologie I (Warszawa - Lwów 1933; F. d. M. \(59_{\text I}\), 563 - 566), p. 221) hat folgendermaßen den Begriff der Homöomorphie verallgemeinert: Zwischen den beiden Mengen \(E\) und \(H\) besteht, wie er sagt, eine ``\textit{Homöomorphie der Klasse} \(\alpha, \beta \)'', wenn zwischen \(E\) und \(H\) eine eineindeutige Abbildung existiert, die von \(E\) nach \(H\) durch eine \textit{Baire}sche Funktion höchstens \(\alpha \)-ter Klasse vermittelt wird und in umgekehrter Richtung durch eine Funktion höchstens \(\beta \)-ter Klasse. Verf. untersucht hier, wie sich die \textit{Baire}sche Eigenschaft gegenüber diesen Transformationen verhält, und beweist hierüber die beiden Sätze: \flushpar (1) \(\beta \) sei eine beliebige Ordinalzahl \(< \Omega \); jede lineare Menge, die homöomorph von der Klasse \(0, \beta \) zu einer Menge mit der \textit{Baire}schen Eigenschaft ist, besitzt gleichfalls diese Eigenschaft. \flushpar Für \(\beta = 0\) hatte Verf. diesen Satz schon früher bewiesen (Fundamenta 4 (1923), 319 -323; F. d. M. 49, 145 (JFM 49.0145.*)). Auf diesen Fall wird nun der allgemeinere Satz zurückgeführt. \flushpar (2) Unter der Voraussetzung der Kontinuumhypothese existieren eine lineare Menge \(G\) mit der \textit{Baire}schen Eigenschaft (sogar von erster Kategorie) und eine lineare Menge \(E\), die nicht die \textit{Baire}sche Eigenschaft besitzt und trotzdem zu \(G\) homöomorph von der Klasse 1, 0 ist. (V 2.)