Remarque sur un ensemble de M. Lusin. (Q2616573)

Der bekannte Satz, daß die Gerade als Summe einer Menge vom Maße Null und einer Menge erster Kategorie dargestellt werden kann, wird in der erstgenannten Arbeit auf einen beliebigen separablen metrischen Raum \(R\) und (statt des Maßes) auf eine allgemeinere Mengenfunktion übertragen, nämlich auf eine für die \textit{Borel}schen Mengen von \(R\) definierte, nicht-negative, vollständig additive und für jeden einzelnen Punkt verschwindende Mengenfunktion. Daraus werden dann weitere Folgerungen gezogen. \flushpar \textit{Spilrajn} bezeichnet als ``\textit{Lusin}sche Menge'' eine Menge eines metrischen Raumes \(R\), deren sämtliche in \(R\) nirgends dichten Teilmengen höchstenss abzählbar sind. Für gewisse vollständig additive Mengenfunktionen wird gezeigt, daß diesen \textit{Lusin}schen Mengen der Wert Null zukommt. (Ein noch allgemeineres, von \textit{Poprougénko} herrührendes Resultat wird ebenfalls mitgeteilt.) \textit{Lusin} (C. R. 158 (1914), 1259; F. d. M. 45, 632 (JFM 45.0632.*)) hatte unter Voraussetzung der Kontinuumhypothese bewiesen, daß im Intervall [0,1] ``\textit{Lusin}sche Mengen'' von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\) existieren. Aus der Existenz linearer \textit{Lusin}scher Mengen von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\) gewinnt nun \textit{Szpilrajn} auf neuem Wege ein die allgemeine Maßtheorie betreffendes wichtiges Resultat von \textit{Banach} und \textit{Kuratowski} (Fundamenta 14 (1929), 127 - 131; F. d. M. \(55_{\text I}\), 56): \(Z\) sei eine beliebige Menge von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\). Abgesehen von der identisch verschwindenden Funktion existiert keine reelle (endliche) Mengenfunktion, die für alle Teilmengen von \(Z\) vollständig additiv ist und für jeden Punkt verschwindet. \flushpar In der zweiten Arbeit zeigt Sierpiński, daß ein (mit Hilfe der Kontinuumhypothese hergeleiteter) Hilfssatz, auf der \textit{Banach} und \textit{Kuratowski} ihr eben angegebenes Resultat gestützt hatten, auch direkt aus der Existenz linearer \textit{Lusin}scher Mengen von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\) folgt (und zwar ohne nochmalige Benutzung der Kontinuumhypothese). \flushpar In der dritten Arbeit beweist \textit{Kuratowski}, daß die Existenz linearer \textit{Lusin}scher Mengen von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\) gleichwertig mit einem (dem vorher erwähnten Hilfssatze analogen) Satze der allgemeinen Mengenlehre ist. (IV 3 C.)