Sur une propriété des ensembles linéaires quelconques. (Q2616578)

Zwei früher von \textit{Ulam} bewiesene Sätze (Fundamenta 20 (1933), 221 -223; F. d. M. \(59_{\text I}\), 94; dort auch Begriffserklärung) werden vom Verf. verschärft. Im ersten Satz von \textit{Ulam} wird ``Menge zweiter Kategorie'' durch ``Menge, die überall (d. h. in jedem Teilinterval) von zweiter Kategorie ist'', im zweiten Satze ``positives äußeres Maß'' durch ``nicht-abzählbar'' bzw. ``äußeres Maß gleich dem der Gesamtmenge'' ersetzt. \flushpar Verf. beweist nämlich - beidemal (wie \textit{Ulam}) unter der Voraussetzung, daß keine ``unerreichbare'' Kardinalzahl \(\leq 2^{\aleph _0}\) existiert - die beiden folgenden Sätze: \flushpar In der ersten Note: Jede lineare Menge, die überall von zweiter Kategorie ist, enthält nicht abzählbar viele elementenfremde Mengen, von denen jede ebenfalls überall von zweiter Kategorie ist. \flushpar In der zweiten Note (was viel schwieriger ist): Jede lineare nicht-abzählbare Menge \(E\) enthält nicht-abzählbar viele, elementenfremde Mengen, von denen jede ein äußeres Maß gleich dem von \(E\) besitzt. \flushpar Ohne hypotetische Voraussetzung kann Verf. an Stelle des zweiten Satzes - mit Hilfe eines Resultates von \textit{Lusin} (s. vorstehendes Referat) - beweisen: Jede unendliche lineare Menge \(E\) enthält unendlich viele elementenfremde Mengen, von denen jede ein äußeres Maß gleich dem von \(E\) besitzt. \flushpar Hieraus folgt noch sofort: Die Bedingung, daß das äußere Maß von \(E\) verschwindet, ist gleichwertig mit der Bedingung: Jede Teilmenge von \(E\) ist Durchschnitt von \(E\) mit einer meßbaren Menge.