Über monotone Matrixfunktionen. (Q2616623)

Ist \(\chi (\omega )\) eine reelle Funktion der reellen Veränderlichen \(\omega \), so kann in der bekannten Weise zu einer reellen symmetrischen Matrix \(C_n=(c_{\varkappa \lambda })\) \((\varkappa,\lambda =1,2,\dots,n)\) des Grades \(n\) die Matrix \(\chi (C_n)\) gebildet werden, falls die Eigenwerte von \(C_n\) dem Definitionsbereich der Funktion \(\chi (\omega )\) angehören. Auf diese Weise entsteht, falls man \(X_n\) alle in diesem Sinne zulässigen reellsymmetrischen Matrizen durchlaufen läßt, eine Matrixfunktion \(\chi (X_n)\) \(n\)-ter Stufe. Eine Matrixfunktion \(n\)-ter Stufe \(\chi (X_n)\) heißt monoton, wenn für irgend zwei (reellsymmetrische) Matrizen \(A_n\) und \(B_n\) aus \(A_n\leq B_n\) stets \(\chi (A_n)\leq \chi (B_n)\) oder stets \(\chi (A_n)\geq \chi (B_n)\) folgt; dabei bedeute \(A_n=\leq B_n\), daß die symmetrische Form \(B_n-A_n\) nichtnegativ definit ist. Im ersten Falle ist die Matrixfunktion monoton wachsend, im zweiten monoton abnehmend; Monotonie erster Stufe ist offensichtlich Monotonie im gebräuchlichen Sinne. Die Untersuchung kann natürlich auf monoton wachsende Funktionen beschränkt werden. Die Funktion \(\chi (\omega )\) selbst heißt unter diesen Voraussetzungen von \(n\)-ter Stufe monoton. Die monotonen Funktionen können durch gewisse Ungleichungen charakterisiert werden: Für die Monotonie \(n\)-ter Stufe von \(\chi (\omega )\) ist notwendig und hinreichend, daß für jedes \(m\) (\(m=1,2,\dots,n)\) die Determinante \(|\varkappa (\eta _\alpha,\xi _\beta )|\) nichtnegativ ist, für Werte \(\xi _\alpha \), \(\eta _\alpha \) (\(\alpha =1,2,\dots,n)\) aus dem Definitionsbereich von \(\chi (\omega )\), die die Ungleichungen \[ \xi _1<\eta _1<\xi _2<\eta _2<\cdots <\xi _m<\eta _m \] erfüllen; dabei ist \[ \varkappa (\eta,\xi )=\frac {\chi (\eta ) - \chi (\xi )}{\eta -\xi }\quad (\eta \neq \xi ). \] Für \(n\geq 3\) muß hierbei noch die Annahme gemacht werden, daß der Definitionsbereich von \(\chi (\omega )\) ein Intervall ist. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit dem \textit{Cauchy}schen Interpolationsproblem; gesucht ist eine rationale Funktion \(\varrho (\omega ) = \dfrac {\sigma (\omega )}{\tau (\omega )}\), deren Zähler und Nenner keinen größeren Grad als \(n\) haben, und die an \(2n+1\) Stellen \(\omega _0,\omega _1,\dots,\omega _{2n}\) vorgeschriebene Werte \(\chi _0, \chi _1,\dots,\chi _{2n}\) hat. Nach einer eingehenden vorbereitenden Untersuchung stellt Verf. die Frage nach der Existenz einer im Intervall \(\langle \omega _0,\omega _{2n}\rangle \) von \(n\)-ter Stufe monotonen Funktion \(\chi (\omega )\), die für \(\omega =\omega _i\) den Wert \(\chi _i\) annimmt. Man bilde zadu die beiden Matrizen \[ m_1=\Bigl (\frac {\chi _{2i-1}-\chi _{2k-2}}{\omega _{2i-1}- \omega _{2k-2}}\Bigr );\quad m_2=\Bigl (\frac {\chi _{2i}-\chi _{2k-1}} {\omega _{2i}-\omega _{2k-1}}\Bigr )\quad (i,k=1,2,\dots,n); \] sind die Minoren dieser Matrizen sämtlich positiv, so existiert eine rationale Funktion \(\varrho (\omega ) = \dfrac {\sigma (\omega )}{\tau (\omega )}\) mit Polynomen \(\sigma (\omega )\), \(\tau (\omega )\), deren Grade \(n\) nicht überschreiten. Dabei ist \(\varrho (\omega )\) eine ``positive'' Funktion, d. h. eine Funktion, die für Argumente mit positivem Imaginärteil Werte annimmt, deren Imaginärteil nicht negativ ist. Ihre (reellen und einfachen) Pole liegen außerhalb von \((\omega _0, \omega _{2n})\), weshalb \(\varrho (\omega )\) in diesem Intervalle sogar von beliebiger Stufe monoton ist. Die Voraussetzung über die Minoren der beiden Matrizen kann noch eingeschränkt werden: Erstens braucht man nur die Positivität gewisser Grundminoren nachzuweisen, zweitens ist die Aufgabe auch dann mit einer ``positiven'' Funktion lösbar, falls diese Grundminoren nur nichtnegativ sind. Der dritte Teil der Arbeit befaßt sich mit der Untersuchung der Differenzierbarkeitseigenschaften monotoner Funktionen. Ist \(\chi (\omega )\) im Intervalle \(\langle \alpha,\beta \rangle \) monoton von \(n\)-ter Stufe \((n\geq 2)\), so hat \(\chi (\omega )\) in jedem Intervalle \(\langle \alpha ',\beta '\rangle \), das ganz im Innern von \(\langle \alpha,\beta \rangle \) liegt, einen beschränkten \((2n-2)\)-ten Differenzenquotienten, so daß \(\chi (\omega )\) im Innern von \(\langle \alpha,\beta \rangle \) mindestens \((2n-3)\)-mal stetig differenzierbar ist. Beispiele zeigen, daß allgemein nichts über Existenz höherer Ableitungen ausgesagt werden kann. Funktionen \(\chi (\omega )\), die in \(\langle \alpha,\beta \rangle \) von beliebig hoher Stufe monoton sind, werden zum Schluß noch behandelt. Sie sind im Innern dieses Intervalls analytisch und geben, ins Komplexe fortgesetzt, ``positive'' Funktionen. Hierzu gilt aber auch die Umkehrung: Ist \(\chi (\omega )\) eine positive Funktion, die in einem Intervalle \(\langle \alpha,\beta \rangle \) der reellen Achse reelle Randwerte annimmt, so ist sie dort von beliebig hoher Stufe monoton. Der Beweis hierfür folgt aus Ungleichungen von \textit{G. Pick} für positive Funktionen (Math. Ann. 77 (1915), 7-23; F. d. M. 45, 642 (JFM 45.0642.*)). Dadurch sind die in einem Intervall von beliebig hoher Stufe monotonen Funktionen vollständig charakterisiert. (IV 4.)