Sur les zéros réels des polynomes. (Q2616642)

Es mögen Polynome \(P_0(x),P_1(x),\dots,P_n(x),\dots \) einer Rekursionsformel der Gestalt \[ P_n(x) = (a_nx+b_n)P_{n-1}(x)+c_nP_{n-2}(x)\quad (n=2,3,\dots ) \] genügen. Hat \(P_n(x)\) nur reelle Nullstellen, die die von \(P_{n+1}(x)\) trennen, so hat das Polynom \[ \lambda _1P_1(x) +\lambda _2P_2(x)+\cdots +\lambda _{2n-1}P_{2n-1}(x)\quad (\lambda _i\text{ reell}) \] mindestens eine Nullstelle im Intervall der äußeren Nullstellen von \(P_n(x)\). Verf. beweist dies und eine Verallgemeinerung durch eine Abzählung der Zeichenwechsel.