Bemerkungen zu einem Satz von E. Schmidt über algebraische Gleichungen. (Q2616644)

Es sei \[ f(z) = a_0+a_1z+\cdots +a_nz^n=0\tag{1} \] eine algebraische Gleichung \(n\)-ten Grades, \(n\geq 1\), mit \(a_0a_n\neq 0\); ferner werde gesetzt: \[ \begin{aligned} P&=|a_0a_n|^{-\tfrac 12}(|a_0|+|a_1|+\cdots |a_n|),\\ Q&=|a_0a_n|^{-\tfrac 12}(|a_0|^2+|a_1|^2+\cdots |a_n|^2),\\ M&=|a_0a_n|^{-\tfrac 12}\operatornamewithlimits {Max}_{|z|=1} |a_0 + a_1z+\cdots +a_nz^n|. \end{aligned} \] Bedeutet \(r\) die Anzahl der reellen Wurzeln der Gleichung (1), so ist nach dem (von seinem Autor selbst bisher nicht veröffentlichten) Satze von \textit{E. Schmidt}: \[ r^2<cn\log P \] mit einer positiven, von \(n\) unabhängigen Konstanten c. \textit{I. Schur} (Sitzungsberichte Akad. Berlin 1933, 403-428; F. d. M. \(59_{\text{II}}\)) zeigte, daß \[ r^2-2r<4n\log P, \] für \(n>6\) sogar \[ r^2<4n\log P, \tag{2} \] wobei in (2) die Konstante 4 nicht mehr verbessert werden kann. Verf. zeigt auf einem weiter unten skizzierten Wege die Gültigkeit der beiden Ungleichungen \[ \begin{gathered} r(r+1)<4(n+1)\log P\quad \text{ für alle } n,\tag{3}\\ r(r+1)+(p-q)^2<4(n+1)\log M,\tag{4} \end{gathered} \] wobei \(p\), \(q\) die Anzahl der positiven bzw. negativen Wurzeln bezeichnet; auch hier kann die Konstante nicht verbessert werden. Es kommt offenbar nur darauf an, die Ungleichung (4) zu beweisen, da (3) und (2) daraus hervorgehen. Zu diesem Zwecke wird \(M^2\) abgeschätzt. Bedeutet noch \(m\) die Anzahl der komplexen Wurzeln von \(f(z)\), so daß für die Zahlen \(p\), \(q\), \(r\), \(m\) die Gleichungen \(p+q=r\), \(p+q+m=n\) gelten, so erhält man durch eine einfache Rechnung die Integralabschätzung: \[ M^4\geq 2^{2n}\cdot \frac {2}{\pi }\int \limits _{-1}^{+1} (1-x)^{2p+\frac 12}(1+x)^{2q+\frac 12}\prod \limits _{\mu =1}^m (x-\cos \vartheta _\mu )^2dx, \] wobei \(\vartheta _1,\dots,\vartheta _m\) die Argumente der komplexen Wurzeln sind. Das Integral \[ \int \limits _{-1}^{+1}(1-x)^{2p+\frac 12}(1+x)^{2q+\frac 12} (P(x))^2dx \] erreicht nun für alle normierten Polynome \(m\)-ten Grades sein Minimum, wenn \(P(x)\) gleich dem \textit{Jacobi}schen Polynom \[ P(x) = 2^m\binom {2m+2p+2q+1}{m}^{-1} P_m(2p+\tfrac 12,2q+\tfrac 12,x) \] gesetzt wird. Da der Minimalwert des Integrals für dieses Polynom bekannt ist, erhält Verf. hieraus die Ungleichung (4). Daß auch hier die Konstante 4 nicht durch eine kleinere ersetzt werden kann, zeigt der zweite Paragraph des ersten Teils. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Abschätzung der Größe \(Q\), eine Aufgabe, die das Fundament der \textit{I. Schur}schen Untersuchungen darstellt. Dazu wird folgende allgemeinere Minimumsaugabe behandelt: \(f(\vartheta )\) sei eine Belegungsfunktion des Einheitskreises, d. i. eine im Intervalle \(-\pi \leq \vartheta <\pi \) definierte nichtnegative, im \textit{Riemann}schen Sinne integrierbare Funktion, deren Integral über dieses Intervall positiv ist. Für die Gesamtheit aller Polynome \(m\)-ten Grades \[ c_0+c_1z+\cdots c_mz^m\quad \text{mit}\quad c_0c_m\neq 0 \] bestimme man das Minimum des Integrals \[ |c_0c_m|^{-1}\frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\pi }^{+\pi } f(\vartheta )|c_0+c_1z+\cdots +c_mz^m|^2d\vartheta \quad (z=e^{i\vartheta }). \] Diese Aufgabe kann mit Hilfe des zu \(f(\vartheta )\) gehörenden eindeutig bestimmten Systems von Polynomen \[ \varphi _m(z) = k_mz^m+\cdots \quad (k_m>0; \;m=0,1,2,\dots ) \] gelöst werden, die auf dem Einheitskreise mit der Belegungsfunktion \(f(\vartheta )\) orthogonal sind: \[ \frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\pi }^{+\pi } f(\vartheta ) \varphi _m(z)\overline {\varphi _n(z)}d\vartheta =\varepsilon _{mn}\quad (z=e^{i\vartheta }; \;m,n=0,1,2,\dots ) \] Durch dieses Polynomensystem können auch Extremalpolynome sehr leicht angegeben werden. Die \textit{Schur}sche Aufgabe, das Minimum des Ausdruckes \[ Q^2=|a_0a_n|^{-1}\frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\pi }^{+\pi }|a_0+a_1z+\cdots +a_nz^n|d\vartheta \quad (z=e^{i\vartheta }) \] für alle Polynome \(n\)-ten Grades \[ a_0+a_1z+\cdots +a_nz^n\quad \text{mit}\quad a_0a_n\neq 0 \] zu bestimmen, die \(p\) positive und \(q\) negative reelle Wurzeln haben, kann dann auf den Spezialfall der obigen Aufgabe zurückgeführt werden, der der Belegungsfunktion \[ f(\vartheta )=2^{p+q}(1-\cos \vartheta )^p(1+\cos \vartheta )^q \] entspricht. Als Extremalpolynome erscheinen hierbei gewisse \textit{Jacobi}sche Polynome.