Sur quelques points de la théorie des zéros des polynomes. (Q2616649)

Es sei \(f(x) = 1+a_1x+\cdots +a_nx^n\) ein Polynom, und die ersten Koeffizienten \(a_1,a_2,\dots,a_p\) seien fest, die andern beliebig. Es mögen \(n-q+1\) \((q\leq p)\) Nullstellen dem Betrage nach nicht kleiner als eine Zahl \(r\) sein. Verf. gibt für dieses \(r\) eine obere Grenze an. Mit Hilfe der \textit{Newton}schen Formeln wird ein nur von der festen \(a\) abhängiger Ausdruck hergestellt. Sind dessen Nullstellen kleiner als \(K_0\), so gilt \[ r\leq (K_0+\varepsilon )n^{\tfrac {1}{n-q+1}}\quad (\varepsilon \to 0); \] verschwindet er identisch, so hat man \(r<K_1n^{\tfrac {1}{l}}\) mit \(l>p-q+1\). \(K_0\) und \(K_1\) hängen nur von \(a_1,\dots,a_p\) ab. Als Spezialfälle für \(q=p\) und \(p=l\) erhält man Ergebnisse von \textit{van Vleck} (Bulletin S. M. F. 51 (1925), 105-125, besonders 115; F. d. M. 51, 98 (JFM 51.0098.*)) sowie des Verf. aus einer früheren Arbeit (Annales Ecole norm. 48 (1931), 247-358; F. d. M. 57). Verf. zeigt dann noch, daß die angegebenen Schranken nicht verbessert werden können, wenn man nicht engere Voraussetzungen über \(f(x)\) macht, z. B. fordert, daß in der Koeffizientenreihe Lücken auftreten. - Der zweite Teil knüpft an \textit{Walsh} (Transactions A. M. S. 22 (1921), 101-116; 23 (1922), 67-88; 24 (1923), 31-69. F. d. M. 48; 86, 1921) und \textit{Biernacki} (Bulletin Acad. Polonaise 1927 (1928), 541-685; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 863) an. Es möge \(P(x)\) alle Nullstellen im Einheitskreis haben, dann soll ein Kreis mit \(R>1\) so bestimmt werden, daß \(P'(x) + aP(x)\) bei beliebigem \(a\) höchstens eine Nullstelle außerhalb dieses Kreises hat. \textit{Biernacki} hat \(R=\sqrt 2\) bewiesen. Verf. verallgemeinert die Fragestellung etwas und erhält dies als Sonderfall. Außerdem zeigt er, daß für \((x-a)P'(x)+\mu P(x)\) (\(\mu \) fest, \(a\) beliebig) \(R=\sqrt {\dfrac {2\mu - n}{\mu - n}}\) ist. Sodann betrachtet er, an eine frühere Arbeit anknüpfend (Bulletin S. M. F. 60 (1932), 173-196; F. d. M. 58), die Nullstellen von \(\Bigl (\dfrac {P(x)}{Q(x)}\Bigr )'\): Hat \(P(x)\) alle Nullstellen im Gebiet \(C\) und ist der Grad von \(Q(x)\) höchstens gleich dem von \(P(x)\), so hat \(\Bigl (\dfrac {P(x)}{Q(x)}\Bigr )'\) wenigstens eine Nullstelle in \(C\). Schließlich wird ein Kreis angegeben, in dem wenigstens eine Nullstelle von \(P(x) +aQ(x)\) liegt. Vgl. auch die nachstehend besprochenen C. R.-Noten von \textit{Montel}.