A method of determining all the solvable groups of given order and its application to the orders 16 \(p\) and 32 \(p\). (Q2616714)

Ist \(\mathfrak G\) eine auflösbare der Ordnung \(g = p^{\alpha _1}_1p^{\alpha _2}_2\cdots p^{\alpha _r}_r\), so besitzt sie eine (im allgemeinen nicht getreue) Darstellung \(\mathfrak T _{\varrho }\) als transitive Permutationsgruppe vom Grade \(p^{\alpha _{\varrho }}_{\varrho }\;(\varrho = 1, 2,\dots, r)\); die verschiedenen unter den Permutationen von \(\mathfrak T _{\varrho }\) bilden eine Gruppe \(\mathfrak R _{\varrho }\) von einer Ordnung \(k_{\varrho }p^{\alpha _{\varrho }}_{\varrho }\), die Teiler von \(g\) ist. Durch Aneinanderfügen dieser Darstellungen \(\mathfrak T _{\varrho }\) entsteht eine getreue intransitive Darstellung \(\mathfrak T\) von \(\mathfrak G\) vom Grade \(\sum p^{\alpha _{\varrho }}_{\varrho }\). Da nun die Gruppen \(\mathfrak R _{\varrho }\) durch \(\mathfrak G\) eindeutig bestimmt sind, läßt sich umgekehrt ein Verfahren aufbauen zur Bestimmung aller auflösbaren Gruppen einer vergegebenen Ordnung \(g\). Man hat dazu alle passenden Systeme von Gruppen \(\mathfrak R _{\varrho }\) auf alle möglichen Weisen zu einer intrasitiven Gruppe der Ordnung \(g\) zusammenzusetzen. Zwei verschiedene unter diesen Bildungsmöglichkeiten führen dann notwendig auch auf verschiedene (nicht isomorphe) auflösbare Gruppen der Ordnung \(g\). Dieses Verfahren werden Verf. auf die Ordnungen \(16p\) und \(32p\) an, wobei \(p\) eine ungerade Primzahl bedeutet; sie erhalten eine vollständige Liste der auflösbaren Gruppen dieser Ordnungen.