Zur Struktur von Alternativkörpern. (Q2616733)

In einem Alternativkörper \(A\) gilt der \textit{Artin}sche Satz: Je zwei Elemente von \(A\) erzeugen einen Schiefkörper in \(A\). Verf. verschärft diese Aussage: Sogar je drei Elemente \(a, b, c\) von \(A\) erzeugen einen Schiefkörper, sofern sie nur der Bedingung \((ab)c = a(bc)\) genügen. Zum Beweise beider Sätze wird ein wesentlich neuer Weg eingeschlegen: Aus den Axiomen von \(A\) folgen für je drei beliebige Elemente \(\alpha, \beta, \gamma \) von \(A\) die Identitäten \[ \begin{aligned} \{\alpha (\gamma \alpha )\} \beta &= \alpha \{\gamma (\alpha \beta )\},\tag{1} \\ (\alpha \beta ) (\gamma \alpha ) &= \alpha \{ (\beta \gamma )\alpha \},\tag{2}\end{aligned} \] deren Beweis die Additionsaxiome erfordert. Ersetzt man nun in dem Axiomensystem von \(A\) letztere durch (1) bzw. durch (1) und (2), so erhält man zwei rein multiplikative Axiomensysteme, die zwei ``Quasigruppen'' \(Q\) bzw. \(Q'\) folgender Art bestimmen: In beiden ist die Multiplikation eindeutig definiert, es existiert ein Einselement und zu jedem Element gibt es genau ein (gleichzeitig Rechts- und Links-) Inverses. Das assaziative Gesetz der Multiplikation ist durch gewisse schwächere Umklammerungsregeln ersetzt. Nun zeigt sich, daß\ in \(Q\) je zwei Elemente eine Gruppe erzeugen, und mit Hilfe dieser Tatsache läßt sich dasselbe für je drei Elemente \(a, b, c\) von \(Q'\) nachweisen, die der Relation \((ab)c = a(bc)\) genügen. Unter Heranziehung der distributiven Gesetze sowie der Identität \[ \alpha ^{-1}\beta ^{-1} = (\beta \alpha )^{-1} \] ist der Übergang von diesen Gruppen zu Schiefkörpern in \(A\) durchzuführen. In der Arbeit ``Alternativkörper und der Satz vom vollständigen Vierseit \((D_9)\)'' (Abhandlungen Hamburg 9 (1933), 207-222; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 551) zeigte Verf. die geometrische Bedeutung des \textit{Artin}schen Satzes. Analog läßt der verschärfte \textit{Artin}sche Satz eine geometrische Anwendung zu: Alle \textit{Desarques}schen Sätze vom Rang Elf in einem elfparametrigen Netz folgen aus dem Vierseitssatz \(D_9\) und einer Konfiguration \(D_{11}\) in diesem Netz (die der Bedingung \((ab)c = a(bc)\) entspricht). (V 1.)