Über irreduzible Ideale in kommutativen Ringen. (Q2616737)

Es handelt sich um die Untersuchung der irreduziblen Ideale (d. h. die sich nicht als Durchschnitt echter Teiler darstellen lassen) in einem kommutativen Ring \(\mathfrak R\) mit Teilerkettensatz. Über diese irreduziblen Ideale, die als die Bausteine aller Ideale von \(\mathfrak R\) anzusehen sind, wurden für Polynomringe \(\mathfrak R\) eine Reihe wichtiger Sätze von \textit{Macaulay} (Math. Ann. 74 (1913), 66-121 und ``The algebraic theory of modular systems'', Cambridge 1916; F. d. M. 44, 246 (JFM 44.0246.*); 46, 167) mit HIlfe seines ``inversen Systems'' aufgefunden. Die vorliegende Arbeit gibt u. a. einen neuen einfachen Zugang zu diesen nicht ganz leicht begründeten Resultaten, und zwar auf Grund der allgemeinen idealtheoretischen Methoden von \textit{Dedekind} und \textit{E. Noether}. Jedes irreduzible Ideal \(\mathfrak q\) ist primär. Damit umgekehrt ein Primärideal \(\mathfrak q\) (mit vom Einheitsideal verschiedenen Primideal \(\mathfrak p\)) irreduzibel sei, ist notwendig und hinreichend, daß\ zwischen \(\mathfrak q\) und \(\mathfrak {q:p}\) kein weiteres Primärideal eingeschoben werden kann. Die allgemeine Strukturtheorie der irreduziblen Ideale ergibt sich durch Übergang zum Restklassenring \(\mathfrak o = \mathfrak {R/q}\), dessen Ideale eineindeutig den zu \(\mathfrak p\) gehörigen primären Teilern von \(\mathfrak q\) entsprechen. Als allgemeiner Ersatz des von \textit{Macaulay} benutzten, auf den Polynomfall beschränkten inversen Systems dient das auf \textit{Dedekind}scher Grundlage definierte inverse Ideal \(\mathfrak {n:a}\) eines Ideals \(\mathfrak a\) von \(\mathfrak o\), wo \(\mathfrak n\) das Nullideal von \(\mathfrak o\) ist. Das obige Irreduzibilitätskriterium für \(\mathfrak q\) lautet dann, daß\ \(\mathfrak {n:p}\) Hauptideal ist. Allgemein ergibt sich: Die Anzahl der irreduziblen Komponenten in einer kürzesten Durchschnittsdarstellung von \(\mathfrak a\) ist gleich der Anzahl der Basiselementein einer kürzesten Basisdarstellung des inversen Ideals \(\mathfrak {n:a}\). Diese und noch einige weitere für irreduzible Ideale gewonnenen Struktursätze übertragen sich größtenteils auch auf eine umfassendere Klasse von Idealen, die als reguläre Ideale bezeichnet werden (\textit{Macaulay}s principal systems). Ein Ideal \(\mathfrak a\) von \(\mathfrak R\) heißt regulär, wenn \(\mathfrak a\) als Durchschnitt gegenseitig primer irreduzibler größter Primärideale darstellbar ist. Insbesondere gilt für Hauptideale \((a)\), wenn \(\mathfrak R\) zudem ein Einselement besitzt: Ist \(a\) Nichtnullteiler, und ist der Quotientenring \(\mathfrak R _a\) (mit zu \(a\) primem Nenner) innerhalb des vollen Quotientenrings von \(\mathfrak R\) ganz algebraisch abgeschlossen, so ist das Hauptideal \((a)\) regulär. Speziell ist also jedes Hauptideal \((a)\) mit Nichtnullteiler \(a\) regulär, wenn \(\mathfrak R\) ganz algebraisch abgeschlossen ist.